Уйгели В.В., Пратусевич А.Е., Корнаев А.В., Доронин О.Н. 2 страница

Значит, при n = 1 утверждение верно.

2. Предположим, что утверждение верно при n = k

Х _k = k ² = k (k+1)(2k+1)/6.

3. Докажем, что данное утверждение истинно при n = k + 1

X _k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X _k+1 = 1² + 2² + 3² +…+ k² + (k + 1)² = k (k + 1) (2k + 1) / 6 + (k+1)² = (k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)² ) / 6 = (k + 1)(k (2k + 1)+ 6(k + 1)) / 6 = (k + 1) (2k² + 7k + 6) / 6 = (k+1) (2 (k + 3/2) (k + 2)) / 6 = (k +1) (k + 2)(2k + 3) / 6.

Итак, из того, что предложение истинно для n = 1 и из предположения, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, на основании принципа математической индукции заключаем, что предположение истинно для любого натурального числа.

Пример 4. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство: 1³ +2³ +3³ +…+n³ = n² (n+1)² / 4.

Решение:

1. Пусть n = 1. Тогда Х ₁ =1³ =1² (1+1)² / 4=1.

Мы видим, что при n = 1 утверждение верно.

2. Предположим, что равенство верно при n = k

X _k = k² (k+1)² / 4.

3. Докажем истинность этого утверждения для n = k + 1, т.е.

Х _k+1 = (k+1)² (k+2)² / 4.

X _k+1 = 1³ + 2³ +…+ k³ + (k + 1)³ = k² (k + 1)² / 4+ (k + 1)³ = (k² (k + 1)² + 4 (k + 1)³) / 4 = (k + 1)² (k ² +4k + 4) / 4 = (k + 1)² (k + 2)² / 4.

Итак, из того, что предложение истинно для n = 1 и из предположения, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, на основании принципа математической индукции заключаем, что предположение истинно для любого натурального числа.

Пример 5. Доказать, что 1³ - 2³ +3³ - 4³ +…+ (2n - 1)³ - (2n)³ = - n² (4n + 3) для любого натурального n.

Решение:

1. Пусть n = 1. Тогда имеем 1³ - 2³ = - 1³ (4 + 3), то есть -7 = -7. Истинное равенство.

2. Предположим, что равенство верно n = k, тогда

1³ - 2³ + 3³ - 4³ +…+ (2k - 1)³ - (2k)³ = - k² (4k + 3).

3. Докажем истинность этого равенства при n = k + 1

(1³ - 2³ +…+ (2k - 1)³ - (2k)³) + (2k + 1)³ - (2k + 2)³ = - k² (4k + 3) + (2k + 1)³ - (2k + 2)³ = -(k+1)³ (4(k + 1) + 3).

Итак, из того, что предложение истинно для n = 1 и из предположения, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n = k + 1, на основании принципа математической индукции заключаем, что предположение истинно для любого натурального числа.

Действия над натуральными числами

(порядковая теория)

Сложением называется алгебраическая операция, при которой каждой паре натуральных чисел а и в ставится в соответствие натуральное число с, называемое значениемих суммы, и при этом выполняются следующие аксиомы:

1) а + 1 = а´

2) а + в´ = (а + в) ´.

Числа а и в называются слагаемыми, а выражение а + в – суммой.

Пользуясь данным определением можно составить таблицу сложения натуральных однозначных чисел.

Будем исходить из того, что непосредственно следующее число за каждым однозначным числом уже получено: 1´ = 2, 2´ = 3, 3´ = 4, 4´ = 5, 5´ = 6, 6´ = 7, 7´ = 8, 8´ = 9, 9´ = 10.

Исходя из аксиомы 1, получаем таблицу «прибавления единицы»:

1 + 1 = 1´= 2

2 + 1 = 2´= 3

…..

9 + 1 = 9´= 10.

Теперь, зная таблицу «+1» и используя аксиому 2, можем вывести таблицу «прибавления к единице»:

1 + 2 = 1 + 1´= (1 + 1)´ = 2´= 3

1 + 3 = 1 + 2´= (1 + 2)´ = 3´= 4

…..

1 + 9 = 1 + 8´= (1 + 8)´ = 9´= 10.

Аналогично мы можем получить таблицу «прибавления к двум»:

2 + 2 = 2 + 1´= (2 + 1)´ = 3´= 4

2 + 3 = 2 + 2´= (2 + 2)´ = 4´= 5

….

2 + 8 = 2 + 7´= (2 + 7)´ = 9´= 10.

Продолжая этот процесс, получим всю таблицу сложения.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция сложения натуральных чисел.

1. Значение суммы любых двух натуральных чисел всегда существует и есть число единственное.

2. Коммутативный закон сложения: (" а, в Î N) (а + в = в + а).

3. Ассоциативный закон сложения: (" а, в, с Î N) ((а + в) + с = а + (в + с)).

4. Монотонность сложения: (" а, в, с Î N) (если а = в, то а + с = в + с).

Доказательство данных законов осуществляется методом математической индукции (аксиома 4 из списка аксиом Пеано).

Вычитание в данном подходе рассматривается как действие обратное сложению.

Значением разности натуральных чисел а и в называетсянатуральное число с, удовлетворяющее условию в + с = а.

Обозначают: с = а – в. Число а называется уменьшаемым, в – вычитаемым, а – в – разностью, с – значением разности.

Действие, с помощью которого находится значение разности, называется вычитанием.

Рассмотрим свойства, связанные с действием вычитания.

1. Разность натуральных чисел а и в существует и единственна тогда и только тогда, когда в < а.

2. Правило вычитания числа из суммы: (а + в) – с = (а – с)+ в = а + (в – с), если а > c и в > c.

3. Правило вычитания суммы из числа: а – (в +с) = (а – в) – с = (а – с) – в.

4. Правило вычитания разности из числа: а – (в - с) = (а – в) + с = (а + с) – в.

5. Правило прибавления разности к числу: а +(в - с) =(а + в) – с = (а – с) + в, если а > c.

Умножением называется алгебраическая операция, при которой каждой паре натуральных чисел а и в ставится в соответствие натуральное число с, называемое значениемих произведения, и при этом выполняются следующие аксиомы:

1) а × 1 = а

2) а × в´ = а × в + а.

Числа а и в называются множителями, а выражение а × в – произведением.

Используя определение и таблицу сложения, можно составить таблицу умножения однозначных натуральных чисел. Как и таблица сложения, таблица умножения составляется поэтапно: сначала рассматривается умножение любого числа на единицу и единицы на любое число, затем число 2 на числа: 2, 3, 4 и т.д.

1) 1 × 1 = 1 × 0´ = 1 × 0 + 1 = 0 + 1 = 1

2 × 1 = 2 × 0´ = 2 × 0 + 2 = 0 + 2 = 2

3 × 1 = 3 × 0´ = 3 × 0 + 3 = 0 + 3 = 3

…

2) 1 × 2 = 1 × 1´ = 1 × 1 + 1 = 1 + 1 = 2

1 × 3 = 1 × 2´ = 1 × 2 + 1 = 2 + 1 = 3

1 × 4 = 1 × 3´ = 1 × 3 + 1 = 3 + 1 = 4

…

3) 2 × 2 = 2 × 1´ = 2 × 1 + 2 = 2 + 2 = 4

2 × 3 = 2 × 2´ = 2 × 2 + 2 = 4 + 2 = 6

2 × 4 = 2 × 3´ = 2 × 3 + 2 = 6 + 2 = 8

…

4) 3 × 2 = 3 × 1´ = 3 × 1 + 3 = 3 + 3 = 6

3 × 3 = 3 × 2´ = 3 × 2 + 3 = 6 + 3 = 9

3 × 4 = 3 × 3´ = 3 × 3 + 3 = 9 + 3 = 12

…

Продолжая описанный процесс, получим всю таблицу умножения.

Рассмотрим основные законы, которым удовлетворяет операция умножения натуральных чисел.

1. Значение произведения любых двух натуральных чисел всегда существует и есть число единственное.

2. Коммутативный закон умножения: (" а, в Î N) (а × в = в × а).

3. Ассоциативный закон умножения: (" а, в, с Î N) ((а × в) × с = а × (в × с)).

4. Монотонность умножения: (" а, в, с Î N) (если а = в, то а × с = в × с).

5. Дистрибутивность умножения относительно сложения слева: (" а, в, с Î N) (а× (в +с) = а × в + а × с).

6. Дистрибутивность умножения относительно сложения справа: (" а, в, с Î N) ((а + в)× с = а × с + в × с).

7. Дистрибутивность умножения относительно вычитания слева: (" а, в, с Î N) (а× (в - с) = а × в - а × с).

8. Дистрибутивность умножения относительно вычитания справа: (" а, в, с Î N) ((а - в)× с = а × с - в × с).

Доказательство данных законов осуществляется методом математической индукции.

В данном подходе деление натуральных чисел вводится как действие обратное умножению.

Значением частного двух натуральных чисел а и в называется натуральное число с, удовлетворяющее условию в × с = а.

Обозначают с = а: в. Число а называют делимым, число в – делителем, выражение а: в – частным, число с – значением частного.

Действие, с помощью которого находится значение частного, называется делением.

Рассмотрим свойства, связанные с действием деления.

1. Для того чтобы существовало значение частного натуральных чисел а и в необходимо, чтобы в ≤ а. Если значение частного существует, то оно единственно.

2. Деление на нуль невозможно.

3. Правило деления суммы на число: (а + в): с = а: с + в: с.

4. Правило деления разности на число: (а - в): с = а: с - в: с.

5. Правило деления произведения на число: (а× в): с = (а: с)× в = а× (в: с), если а с и в с.

6. Правило деления числа на произведение: а: (в × с) = (а: в): с = (а: с): в.

7. Правило умножения числа на частное: а × (в: с) = (а× в): с = (а: с)× в.

В начальном курсе математики определение деления как действия, обратного умножению, в общем виде не дается, но им постоянно пользуются. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Например, выполняя деление 48 на 16, дети рассуждают так: Разделить 48 на 16 – это значит найти такое число, которое при умножении на 16 дает 48, таким числом будет 3, следовательно 48: 16 = 3.

Порядковые и количественные натуральные числа.

Счет. Сравнение чисел

В аксиоматической теории натуральное число рассматривается как элемент специального множества, представляющего собой бесконечный упорядоченный ряд, в котором обязательно существует первый элемент и следующие за ним числа расположены в определенном порядке. Другими словами, аксиоматическая теория рассматривает натуральное число, как число порядковое.

В количественной теории натуральное число понимается как количественная характеристика конечного множества.

Выясним, каким образом связаны между собой эти два различных смысла натурального числа. Для этого рассмотрим процесс счета элементов множества А, изображенного на рисунке.

Указывая на любой из элементов этого множества, мы говорим «один», указывая на другой, говорим «два», затем «три», «четыре», «пять». На этом процесс счета заканчивается, так как использованы все элементы множества А. Сосчитав элементы множества А, мы говорим, что множество А содержит пять элементов, то есть получаем количественную характеристику этого множества. В данном случае натуральное число выступает как количественное.

Однако в процессе счета мы не только получили количественную характеристику множества, но и упорядочили его. Про элемент, которому соответствует число «один», можно сказать «первый», про элемент, которому соответствует число «два», - «второй», затем «третий», «четвертый». В этом случае натуральное число представляет собой порядковый номер некоторого элемента и поэтому называется порядковым натуральным числом.

Ведя количественный счет предметов, важно соблюдать следующие правила:

1. Начинать счет можно с любого элемента множества.

2. Ни один элемент не должен быть пропущен.

3. Ни один элемент не должен быть сосчитан дважды.

4. Первым при счете называется число «один».

5. Числа, используемые при счете, следуют один за другим без пропусков.

При соблюдении указанных правил после окончания счета между множеством А и некоторым подмножеством натурального ряда устанавливается взаимно однозначное соответствие. В рассмотренном случае таким подмножеством является множество {1, 2, 3, 4, 5}, которое называют отрезком натурального ряда.

Отрезком натурального ряда N_а называетсямножество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Например, отрезок N₃ ={1, 2, 3} – это множество натуральных чисел, не превосходящих 3.

Введенное определение отрезка натурального ряда позволяет уточнить понятие счета элементов множества.

Счетом элементов непустого конечного множества А называется процесс установления взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального ряда N_а.

Тесная связь порядкового и количественного числа нашла отражение в процессе обучения математике периода детства. С этими сторонами числа дети знакомятся уже при изучении чисел первого десятка. Происходит это при счете элементов различных множеств. Ответ на вопрос: «Сколько предметов содержит данное множество?» выражается количественным натуральным числом, а порядковое число указывает, какое место при счете занимает тот или иной предмет, и отвечает на вопрос: «Которым по счету будет данный предмет?».

Выясним теперь, на какой теоретической основе происходит сравнение чисел.

Пусть даны два натуральных числа а и в. С теоретико-множественной точки зрения они представляют собой число элементов конечных множеств А и В: а = n (А), в = n (В). Если эти множества равномощны, то им соответствует одно и то же число, т.е. а = в.

Итак, числа а и в равны, если они определяются равномощными множествами.

Если множества А и В не равномощны, то числа, определяемые ими, различны.

Если множество А равномощно собственному подмножеству множества В и n (А) = а, n (В) = в, то говорят, что число а меньше в, и пишут: а < в или в больше а и пишут: в > а.

Данные определения используются в процессе обучения детей математике в период детства. Например, при введении записи 4 = 4 рассматривают два равночисленных множества квадратов и кругов.

При изучении отношения 4 < 5 проводятся рассуждения: возьмем 4 квадрата и 5 кругов, на каждый квадрат положим круг, видим, что один круг остался лишним, значит квадратов меньше, чем кругов, поэтому можно записать: 4 < 5.

Выделение в множестве В собственного подмножества, равномощного множеству А, на практике происходит различными способами: наложением, приложением, путем образования пар и т.п.

Изложенный подход к определению отношения «меньше» имеет ограниченное применение, он может быть использован для сравнения чисел в пределах 20, поскольку связан с непосредственным сравнением групп предметов.

Рассмотрим другие определения отношения «меньше».

Пусть а < в и а = n (А), в = n (В), множество А равномощно В₁ (А ~ В₁), где В₁ – собственное подмножество множества В. Обозначим данные положения на рисунке.

Так как В₁ Ì В, то В можно представить в виде объединения множеств В₁ и В₂, где (В₂ = В \ В₁), т.е. В = В₁ È В₂ и следовательно n (В) = n (В₁ È В₂). Поскольку В₁ и В₂ не пересекаются, то по определению суммы n (В) = n (В₁) + n (В₂) (*). По условию А ~ В₁, т.е. n (А) = n (В₁). Обозначим численность множества В₂ через с (n (В₂) = с), тогда равенство (*) принимает вид в = а + с, т.е. из того, что а < в следует, что в = а + с.

Таким образом, мы получили другое определение отношения меньше.

Число а меньше числа в тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = в.

Объясним, пользуясь этим определением, что 4< 6.

4< 6, поскольку существует такое натуральное число 2, что 4 + 2 = 6.

Данный способ определения отношения «меньше» так же используется в процессе обучения детей. Об этом говорит наличие пар записей: 5 + 1 = 6, 5< 6; 7 + 1 = 8, 8 > 7.

Рассмотрим еще один способ сравнения чисел.

Пусть а < в. Тогда про любое натуральное число с можно сказать, что если с ≤ а, то с < в. Это означает, что при а < в отрезок натурального ряда N_а является собственным подмножеством отрезка N_в. Справедливо и обратное утверждение.

Таким образом, мы получаем еще одно определение отношения «меньше»:

Число а меньше числа в тогда и только тогда, когда отрезок натурального ряда N_а является собственным подмножеством отрезка этого ряда N_в.

Например, с помощью данного определения объясним, почему 4 < 6. Отрезок натурального ряда N₄ имеет вид: {1, 2, 3, 4}, отрезок натурального ряда N₆: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Видим, что N₄ Ì N₆, следовательно, 4 < 6.

Данное определение отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание места числа в натуральном ряду. В обучении математике периода детства этот способ встречается в виде правила: число, которое при счете встречается раньше, всегда меньше числа, которое идет позднее.

Натуральное число как результат измерения величин

Натуральные числа используются не только для пересчета элементов конечных множеств, но и для измерения величин: длин отрезков, масс тел, площадей фигур, стоимости товара и др., то есть для сравнения их с некоторой единицей (см, кг и т.д.) и выражения результата сравнения числом.

Если величину, которую измеряют, можно разделить на несколько частей, «равных» единице величины, то результат измерения выражается натуральным числом.

Уточним представления о натуральном числе как результате измерения величин. Все понятия рассмотрим на примере измерения длины отрезка.

Говорят, что отрезок а состоит из отрезков а₁, а₂, а₃, …, а_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя могут иметь общие концы. В этом случае считается также, что отрезок а разбит на отрезки а₁, а₂, а₃, …, а_n, или отрезок а является суммой отрезков а₁, а₂, а₃, …, а_n, и пишут а = а₁ + а₂ + а₃ + … + а_n.

Например, рассмотрим отрезок а, которыйразбит на отрезки а₁, а₂, а₃.

Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е и назовем его единицей длины или единичным отрезком.

Если отрезок а состоит из n отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число n называют мерой или значением длины отрезка а при единице длины е.

В данном случае используются следующие обозначения: n = m_е (а) или а = nе. Очевидно, что при выбранной единице длины е для отрезка а число n будет единственным.

Например, мерой отрезка а, изображенного на рисунке, при единице длины е является число 5: m_е (а) = 5. В данном случае можно сказать, что число 5 является значением длины отрезка а при единице длины е, и записать: а = 5 е.

е а

Итак, натуральное число как мера отрезка а показывает, из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а.

Аналогично понятие натурального числа можно ввести в связи с измерением других величин (масс или объемов тел, площадей фигур и др.), и в любом случае натуральное число как мера величины будет показывать, сколько раз единица измерения содержится в измеряемом объекте.

Однако надо иметь в виду, что число как мера величины меняется в зависимости от выбора единицы измерения, даже если сам измеряемый объект остается неизменным.

Например, возьмем отрезок х и измерим его меркой е₁, а затем меркой е₂.

х е₁ е₂

При измерении данного отрезка меркой е₁ получим, что мера отрезка х равна 6. Если измерить этот же отрезок х меркой е₂, то мера отрезка будет равна 2.

В этом состоит относительность натурального числа как результата измерения величины.

Натуральное число, получаемое при измерении, можно рассматривать и как порядковое, и как количественное. Однако по своей сути оно выступает в новом качестве. Записи 7 конфет и 7 см не тождественны: 7 конфет можно представить как 7 квадратов (прямоугольников, кругов), а для 7 см такое изображение неприемлемо, 7 см можно изобразить в виде отрезка соответствующей длины.

Сравнение натуральных чисел как мер длин отрезков связано со сравнением самих отрезков. Пусть натуральное число n есть мера отрезка а при единице длины е, а натуральное число m – мера отрезка в при той же единице длины е. Если отрезки а и в равны, то будут равны и соответствующие им числа n и m. Справедливо и обратное утверждение. Пользуясь этими рассуждениями, сформулируем следующий вывод: при выбранной единице измерения натуральные числа равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие им отрезки.

Если отрезок а короче (меньше) отрезка в, то и мера отрезка а меньше меры отрезка в, то есть n < m. Справедливо и обратное утверждение. На основе этих рассуждений, сделаем следующий вывод: при выбранной единице измерения одно число тогда и только тогда меньше другого, когда ему соответствует меньший отрезок.

Данная взаимосвязь между отрезками и численными значениями их длин позволяет сравнение длин отрезков свести к сравнению их соответствующих численных значений и наоборот.

Например, 7 см > 4 см, так как 7 > 4.

Действия над натуральными числами

как мерами длин отрезка

Выясним, какой смысл приобретают арифметические действия над натуральными числами, если эти числа получены в результате измерения длин отрезков.

1. Сложение. Пусть отрезок z состоит из отрезков х и у и z = се, х = ае, у = ве, где с, а и в – натуральные числа. Это значит, что отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у состоит из в отрезков, равных е. Следовательно, весь отрезок z состоит из а + в отрезков, равных е, то есть m_е (z)= с = а +в = m_е (х) + m_е (у).

Таким образом, суммой натуральных чисел а и в называется натуральное число а +в, являющееся мерой длины отрезка z, состоящего из отрезков х и у, мерами длин которых являются числа а и в.

2. Вычитание. Пусть теперь отрезок х состоит из отрезков у и z, и пусть, как и выше, х = ае, у = ве, z = се. Покажем это на рисунке.

Тогда отрезок z называют разностью отрезков х и у и обозначают z = х – у. В данном случае мера отрезка z равна разности мер отрезков х и у, то есть с = m_е (z) = m_е (х) - m_е (у) = а – в.

Таким образом, разностью натуральных чисел а и в называется натуральное число а - в, равное мере длины отрезка z, являющегося разностью отрезков х и у, мерами длин которых являются числа а и в.

Заметим, что такой подход к сложению и вычитанию натуральных чисел связан не только с измерением длин отрезков, но и с измерением других величин.

В процессе обучения математике дети встречаются с задачами, в которых рассматриваются различные величины и действия над ними. Определение смысла сложения и вычитания натуральных чисел, являющихся значениями величин, позволяет обосновывать выбор действия при решении таких задач.

Например, рассмотрим задачу: «В саду собрали 2 кг малины и 3 кг клубники. Сколько килограммов ягод собрали в саду?». Данная задача решается действием сложения.

Изобразим массу собранной малины в виде отрезка а, а массу собранной клубники в виде отрезка в. Тогда массу собранных ягод можно изобразить при помощи отрезка АС, состоящего из отрезка АВ, равного а, и отрезка ВС, равного в.

а ве е = 1 кг А В С

Так как численное значение длины отрезка АС равно сумме численных значений длин отрезков АВ и ВС, то массу собранных ягод нужно находить действием сложения: 2 + 3 = 5 (кг).

3. Умножение. Пусть m_е (х) = а, то есть отрезок х состоит из а отрезков, равных е. Отрезок е, в свою очередь, состоит из в отрезков, равных е₁, то есть m_е1 (е) = в. Тогда мера длины отрезка х при единице длины е₁ выражается числом а · в.

Дата добавления: 2015-04-25