Однородные координаты

БАЗОВАЯ ГРАФИКА. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Основное применение однородных координат – это геометрические преобразования, поскольку при помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости. Аналогично, с помощью четверок однородных координат и матриц четвертого порядка можно описать любое преобразование в пространстве [16, 24].

В однородных координатах точка Р (x,y) записывается как Р (W×x,W×y,W) для любого масштабного множителя W¹0. При этом если для точки задано ее представление в однородных координатах Р (X,Y,W), то можно найти ее двумерные декартовы координаты как x=X/W и y=Y/W.

Геометрический смысл однородных координат заключается в следующем (рис.6.1). Произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку О (0,0,0), с точкой Р' (x,y, 1), может быть задана тройкой чисел вида (W×x, W×y, W). Вектор с координатами W×x, W×y, W является направляющим вектором прямой, соединяющей точки О (0,0,0) и Р' (x,y, 1). Эта прямая пересекает плоскость z =1 в точке (x,y,1), которая однозначно определяет точку (x,y) координатной плоскости x,y.

Рис.6.1. Графическое представление однородных координат

Тем самым между произвольной точкой с координатами (x,y) и множеством троек чисел вида (W×x, W×y, W), W ¹0 устанавливается взаимно однозначное соответствие, позволяющее считать числа W×x, W×y, W новыми координатами этой точки.

Дата добавления: 2015-04-25