Проективные преобразования

Пространственный поворот относительно точки

Рассмотрим последовательность аффинных преобразований на примере поворота вокруг точки А(a, b) на угол j. Решим задачу в три этапа.

Шаг 1. совмещаем центр поворота (a, b) с началом координат:

.

Шаг 2. Произведем поворот на заданный угол

.

Шаг 3. Возвращаем матрицу на прежнее место .

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте понятие однородных координат?

2. Что такое аффинные преобразования?

3. В чем отличие матричных преобразований на плоскости от преобразований в пространстве?

4. Какая последовательность действий выполняется при повороте объекта относительно некоторой точки?

Изображение объектов на картинной плоскости связано с такой геометрической операцией, как проецирование при помощи пучка прямых. Основными видами проецирования являются параллельное и центральное (перспективное) [16, 21].

Для получения проекции объекта на картинную плоскость необходимо провести через каждую его точку прямую из заданного проецирующего пучка и затем найти координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью изображения. При параллельном проецировании центр пучка считается лежащим в бесконечности (рис. 7.1, а). В случае центрального проецирования все прямые исходят из одной точки – центра собственного пучка (рис. 7.1, б).

а б

Рис.7.1. Виды проецирования:

а) параллельное проецирование;

б) центральное проецирование

Каждый из этих двух классов разбивается на несколько подклассов в зависимости от расположения картинной плоскости и координатных осей (рис. 7.2, 7.3).

Рис.7.2. Параллельные проекции

Рис.7.3. Центральные проекции

Параллельные проекции. При ортографической проекции картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей. Матрица проецирования вдоль оси X на плоскость YZ имеет вид:

.

В результате получаем .

Аналогично записываются матрицы проецирования вдоль двух других осей:

.

При аксонометрической проекции проецирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости. В соответствии со взаимным расположением координатных осей различают три вида проекций:

- триметрию – нормальный вектор картинной плоскости образует с ортами координатных осей попарно различные углы (7.4, а).

- диметрию – два угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны(7.4, б);

- изометрию – все три угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны (7.4, в).

а б в

Рис.7.4. Аксонометрические проекции:

а) триметрия, б) диметрия, в) изометрия

Каждый из трех видов указанных проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проецирование. При повороте на угол α относительно оси ординат, на угол φ вокруг оси абсцисс и последующего проецирования вдоль оси аппликат возникает матрица

.

Проекции, для получения которых используется пучок прямых, не перпендикулярных плоскости экрана, принято называть косоугольными (рис.7.5). При косоугольном проецировании орта оси Z на плоскость XY имеем: .

Рис.7.5. Косоугольное проецирование

Выделяют два вида косоугольных проекций: свободную проекцию (угол наклона проецирующих прямых к плоскости экрана равен половине прямого) и кабинетную проекцию (частный случай свободной проекции – масштаб по третьей оси вдвое меньше).

В случае свободной проекции , в случае кабинетной .

Центральные проекции. При центральном проецировании принято выделять точки схода, которые соответствуют пучкам прямых, параллельных координатным осям. В общем случае, (когда оси координатной системы не параллельны плоскости экрана), таких точек три.

Рис.7.6. Перспективная проекция с одной точкой схода

Матрица соответствующего преобразования выглядит следующим образом:

.

Контрольные вопросы и задания

1. Перечислите основные типы параллельных проекций.

2. Какие виды центральных проекций Вы знаете?

3. Назовите аксонометрические проекции. В чем их различие?

4. Что представляет собой точка схода?

Дата добавления: 2015-04-25