Вычисление интегралов Мора по способу Верещагина

Вычисление интегралов Мора существенно упрощается, если хотя бы одна из эпюр прямолинейна. Такое условие всегда выполняется, так как эпюры от единичной нагрузки всегда ограничены прямыми линями.

Вычислим интеграл Мора для случая, когда эпюра от заданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной – прямолинейна. Рассмотрим подинтегральное выражение. Очевидно, что

– из верхней эпюры

– из нижней эпюры

Значит:

Но ведь представляет собой статический момент площади эпюры относительно оси .

Таким образом:

Окончательно:

В случае, если упругая система имеет несколько участков:

(2)

Формулу (2) называют формулой Верещагина. Для того, чтобы определить перемещение способом Верещагина, необходимо:

1. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов от заданных внешних нагрузок в состоянии 1.

2. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов от единичной нагрузки (как и в методе Максвелла – Мора).

3. Определить и , из этих эпюр, подставить их значение в формулу (2) и вычислить искомое перемещение.

Нужно помнить, что если обе эпюры линейны, то не имеет значения, с какой из них взять , а с какой . Если же грузовая эпюра нелинейна, то площадь берут обязательно на нелинейной эпюре, а величину – с линейной.

Площади эпюр можно взять из справочника.

При сложном нагружении системы удобно строить эпюры ВСФ в “расслоенном” виде, пользуясь принципом независимости действия сил.

Пример:

Дано: консольная балка загружена сосредоточенной силой и сосредоточенным моментом. Величины P, M, a, b, E, I_x - известны.

Требуется:

Вычислить прогиб f на конце консоли.

Решение:

Поскольку нагрузка сложная, построим эпюры от действия каждой нагрузки в отдельности, ( и ) используя принцип суперпозиции.

Затем создадим 2-е (единичное) состояние. “Перемножая” полученные эпюры, получим:

Окончательно: .

При вычислениях по Верещагину полезно знать следующие зависимости:

а) параболический треугольник

б) квадратичная парабола

в) «перемножение» трапеций г) «перемножение» трапеций

(линейных) (линейной на параболическую)

Дата добавления: 2015-04-25