Аналитические методы. Методы получения математического описания

Методы получения математического описания

Существуют аналитические, экспериментальные и комбинированные методы получения математического описания объектов управления.

Аналитические методы базируются на использовании уравнений описывающих физико-химические и энергетические процессы, протекающие в исследуемом объекте управления. Это, например, законы сохранения вещества и энергии (уравнения материального баланса). В настоящее время для многих классов объектов управления получены их математические модели. При получении таких описаний обычно оперируют с дифференциальными уравнениями в частных производных, т.к. переменные изменяются как во времени, так и в пространстве.

Экспериментальные методы предполагают проведение серии экспериментов на реальном объекте управления. Обработав результаты экспериментов, оценивают параметры динамической модели объекта, задавшись предварительно ее структурой.

Наиболее эффективными оказываются комбинированные методы построения математической модели объекта, когда, используя аналитически полученную структуру объекта, ее параметры определяют в ходе натурных экспериментов.

В качестве примера рассмотрим аналитическую процедуру получения передаточной функции бака с жидкостью (рис. 47).

Рисунок 47 - Объект управления - бак с жидкостью

В баке будет осуществляться стабилизация уровня жидкости на номинальном значении . Регулирование притока осуществляется через верхнюю трубу.

Слив жидкости идет через нижнюю трубу через установленный на ней клапан . Степень открытия клапана a может изменяться от 0 до 1, устанавливая тем самым нужную величину стока. Площадь сечения бака .

Очевидно, что в установившемся режиме работы приток равен стоку .

Таким образом, управляющей величиной является приток жидкости, управляемой - величина уровня, а главным возмущением - изменение величины степени открытия клапана .

Пусть приток жидкости в бак увеличился на . В это случае текущее значение притока будет равно . Тогда за время уровень возрастет на величину и составит . Очевидно, что количество жидкости накопленной во времени должно равняться количеству жидкости накопленной в объеме. Отсюда следует уравнение материального баланса

.

Для анализа изменения уровня преобразуем это уравнение к виду

Из физики известно, что величина стока связана с уровнем соотношением

.

Эта зависимость носит нелинейный характер. Для получения линейного дифференциального уравнения объекта и его передаточной функции необходимо произвести линеаризацию нелинейности в окрестности рабочей точки регулирования. Такой подход справедлив, т.к. при использовании регулятора стабилизации, отклонения текущего значения уровня от заданного будут малыми.

Для линеаризации необходимо разложить функцию в ряд Тейлора и отбросить все нелинейные члены. Проделав это, получим

С учетом этой зависимости уравнение (1.1) примет вид

Беря предел, при , произведя замену переменных , и учитывая, что получим дифференциальное уравнение объекта

Известно, что инерционное звено первого порядка с коэффициентом усиления и постоянной времени описывается дифференциальным уравнением

Тогда, из этих формул получим следующие выражения для постоянной времени и коэффициента усиления бака с жидкостью

.

Достоинства аналитических методов:

- не требуют проведения экспериментов на реальном объекте;

- позволяют определить математическое описание еще на стадии проектирования системы управления;

- позволяют учесть все основные особенности динамики объекта управления, как-то наличие нелинейностей, нестационарность, распределенные параметры и т.д.;

- обеспечивают получение универсального математического описания, пригодного для широкого класса аналогичных объектов управления.

Недостатки:

- трудность получения достаточно точной математической модели, учитывающей все особенности реального объекта;

- проверка адекватности модели и реального процесса требуют проведения натурных экспериментов;

- многие математические модели имеют ряд трудно оцениваемых в численном выражении параметров (например, константы скоростей химических реакций).

Дата добавления: 2015-04-29