Двойственный симплексный метод, область его применимости

Из результатов предыдущих пунктов следует, что для получения решения исходной задачи можно перейти к двойственной и, используя оценки ее оптимального плана, определить оптимальное решение исходной задачи.

Переход к двойственной задаче не обязателен, так как если рассмотреть первую симплексную таблицу с единичным дополнительным базисом, то легко заметить, что в столбцах записана исходная задача, а в строках –двойственная.

Как было показано, при решении прямой задачи на любой итерации разность , т.е. величина -коэффициента при переменной , равна разности между правой и левой частями соответствующего ограничения двойственной задачи. Если при решении прямой задачи с максимизируемой целевой функцией итерация не приводит к оптимальному решению, то по крайней мере для одной переменной и только в оптимуме для всех разность .

Рассматривая это условие с учетом двойственности, можно записать

.

Таким образом, если , то . Это означает, что, когда решение прямой задачи неоптимальное, решение двойственной задачи недопустимое. С другой стороны при . Отсюда следует, что оптимальному решению прямой задачи соответствует допустимое решение двойственной задачи.

Это позволило разработать новый метод решения задач линейного программирования, при использовании которого сначала получается недопустимое, но «лучшее, чем оптимальное» решение (в обычном симплекс-методе сначала находится допустимое, но неоптимальное решение). Новый метод, получивший название двойственного симплекс-метода, обеспечивает выполнение условия оптимальности решения и систематическое «приближение» его к области допустимых решений. Когда полученное решение оказывается допустимым, итерационный процесс вычислений заканчивается, так как это решение является и оптимальным.

Двойственный симплекс-метод позволяет решать задачи линейного программирования, системы ограничений которых при положительном базисе содержат свободные члены любого знака. Этот метод позволяет уменьшить количество преобразований системы ограничений, а также размера симплексной таблицы. Рассмотрим применение двойственного симплекс-метода на примере.

Пример. Найти минимум функции

при ограничениях

.

Перейдем к канонической форме:

при ограничениях

Начальная симплекс-таблица имеет вид

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	Решение
x3 x4 x5	–3 –4	–1 –3				–3 –6
	–2	–1

Начальное базисное решение оптимальное, но не допустимое.

Как и обычный симплексный метод, рассматриваемый метод решения основан на использовании условий допустимости и оптимальности.

Условие допустимости. В качестве исключаемой переменной выбирается наибольшая по абсолютной величине отрицательная базисная переменная (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если все базисные переменные неотрицательные, процесс вычислений заканчивается, так как полученное решение допустимое и оптимальное.

Условие оптимальности. Включаемая в базис переменная выбирается из числа небазисных переменных следующим образом. Вычисляются отношения коэффициентов левой части -уравнения к соответствующим коэффициентам уравнения, ассоциированного с исключаемой переменной. Отношения с положительным или нулевым значением знаменателя не учитываются. В задаче минимизации вводимой переменной должно соответствовать наименьшее из указанных отношений, а в задаче максимизации – отношение, наименьшее по абсолютной величине (при наличии альтернатив выбор делается произвольно). Если знаменатели всех отношений равны нулю или положительные, задача не имеет допустимых решений.

После выбора включаемой в базис и исключаемой переменных для получения следующего решения осуществляется обычная операция преобразования строк симплекс-таблицы.

В рассматриваемом примере исключаемой переменной является . Отношения, вычисленные для определения новой базисной переменной, приведены в следующей таблице:

Переменные	x1	x2	x3	x4	x5
-уравнение x4-уравнение	–2 –4	–1 –3
Отношение			–	–	–

В качестве включаемой переменной выбирается x2. Последующее преобразование строк приводит к новой симплекс-таблице:

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	Решение
x3 x2 x5						–1 –1

Новое решение также оптимальное, но все еще недопустимое. В качестве новой исключаемой переменной выберем (произвольно) x3. Определим включаемую переменную.

Переменные	x1	x2	x3	x4	x5
-уравнение x4-уравнение
отношение		–	–		–

Вводимой в базис переменной является x1 и в результате получим следующую симплекс-таблицу:

Базисные переменные	x1	x2	x3	x4	x5	Решение
x1 x2 x5			–1

Полученное решение x1= , x2= является оптимальным и допустимым.

Двойственный симплекс-метод удобен тем, что его можно применять в том случае, когда решается не одна, а несколько задач линейного программирования с возрастающим количеством дополнительных ограничений.

ПРИМЕР

Составить двойственную задачу к задаче п.10.5. Используя решение исходной задачи, записать оптимальное решение двойственной задачи. Дать экономическую интерпретацию прямой и двойственной задач.

Матрица исходной задачи имеет вид:

Тогда матрица двойственной задачи получится транспонированием этой. Получим:

Так как в неравенствах исходной задачи положительны, то имеем систему неравенств:

Так как в системе ограничений исходной задачи стоят знаки неравенств, то

Так как в исходной системе , то

.

Полученная задача является двойственной к прямой задаче. Ее решение находим из 4-й строки последней симплекс-таблицы в столбцах: A3, A4, A5. Получим: ;

.

По своему экономическому смыслу эти двойственные переменные означают, на сколько возрастет прибыль при увеличении соответствующего ресурса на одну единицу, т.е. при увеличении сырья 1-го вида на 1 единицу общая стоимость продукции произведенной при оптимальном плане, вырастет на 7/10 единиц, при увеличении сырья 3-го вида на 1 единицу стоимость продукции вырастет на 1/5 единиц. Так как y2 = 0 то 2-й вид сырья используется не полностью.

Дата добавления: 2015-04-29