Случай 2

Случай 1.

Пусть . Если , то все корни исходного характеристического уравнения чисто мнимые и оптимальный регулятор не существует. Если , то корни будут иметь вид:

В общем виде решением системы (5) будет

,

причем в силу граничных условий. Из уравнения получим решение для :

.

Далее, исключаем время из решения для синтеза регулятора. Получим:

,

подставляя которые в уравнение для находим:

.

Из второго уравнения системы (4) находится уравнение оптимального регулятора

.

Пусть . Тогда корни характеристического уравнения (6) будут комплексными:

, ,

где , .

В общем случае решение системы (5) для этого случая:

,

причем, в силу граничных условий .

Выразив производную через переменные и :

,

из второго уравнения системы (4) получим уравнение оптимального регулятора:

Таким образом, для оптимизации по квадратичному критерию колебательного звена необходимо замкнуть его отрицательной обратной связью по выходным координатам с коэффициентами соответственно и .

Структурная схема замкнутой системы:

Отметим, что от выбора весовых коэффициентов в функционале зависит характер переходного процесса в системе. Процесс может быть колебательным или монотонным, иметь различное перерегулирование и т.д. Если найти в общем виде уравнение для функционала в зависимости от весовых коэффициентов, то можно провести минимизацию функционала по параметрам, в качестве которых выступают коэффициенты штрафа.

Решение неклассических задач вариационного исчисления

Неклассическими задачами ВИ считаются такие, в которых накладываются ограничения в виде неравенств на переменные системы и управления, что всегда встречается в технических задачах. Рассмотрим основной метод их решения, получивший название принцип максимума. Этот аппарат разработан в середине 50-х годов XX века коллективом отечественных ученых под руководством Понтрягина Л.С. За разработку коллектив получил Ленинскую премию. С тех пор метод продолжает развиваться.

Принцип максимума

Дата добавления: 2015-04-29