Сравнительные результаты оценки систем 10 страница

Например, если предоставить ссуду 100 тыс. долл. на 30 дней, а Р=0,01, день^-1, то возвратная сумма будет равна

100 (1+РТ) = 100 (1+0,30)=130 тыс. долл.,

где РТ=0,30 - безразмерная величина.

Возможны следующие два варианта работы с неиспользуемыми средствами (в действительности таких вариантов может быть довольно много);

1) плата за предоставленную ссуду каждый раз относится к финансовым результатам (к прибыли, подлежащей дальнейшему распределению по статьям баланса) и вторично не участвует в последующих выделениях ссуд;

2) дополнительные средства, полученные в качестве платы за ссуду, сразу участвуют в последующих выделяемых ссудах.

Стандартные формулы финансовой математики для обоих вариантов неприменимы.

Вариант 1. Вид тренда временной выгоды получим с помощью следующей итерационной процедуры.

Этап 1. В момент времени t₀ =0 можно полагать, что в течение Т дней нам не потребуется сумма

,

По истечении интервала Т будем располагать этой возвращенной суммой плюс плата за ссуду:

,

Сумму s(t₁ ) далее будем использовать, а полученную плату

отнесем к финансовым результатам.

Этап 2. В момент времени t₁=Т можно полагать, что по истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма

По истечении второго интервала Т нам вернут сумму

Сумму s(t₂) далее будем использовать по прямому назначению, а полученную плату

отнесем к финансовым результатам.

Этап 3. В момент времени t₂ =2Т можно полагать, что по истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма

По истечении третьего интервала Т нам вернут сумму

Сумму s(t₃) далее будем использовать по назначению, а полученную плату

опять отнесем к финансовым результатам.

Этап n. После этапа n сумму

снова отнесем к финансовым результатам.

Далее просуммируем данные и получим результат L_n — величину получаемой платы за предоставленные ссуды в виде:

Обозначим q = е^-Tb₁. В результате получим

а в пределе

Тренд временной выгоды х₃(t) можно получить следующим образом. Сначала сделаем предельный переход. Полагаем, что п>>1 и t >>Т. В этом случае подставим t/T вместо n. Продифференцировав выражение для L_n получим приближенное соотношение

Вспомним, что тренд x₃(t) имеет вид

Сначала вблизи t=0 этот тренд растет от нуля линейно с коэффициентом b₂. Далее при больших значениях t этот тренд уменьшается до нуля по экспоненте с коэффициентом b₁. Вид b₁ мы уже определили в подразд.5.2.3. Для получения b₂ проинтегрируем выражение для x₃(t) и приравняем значение интеграла полученной предельной величине L_¥:

.

Но в то же время

Приравняв соответствующие выражения, поскольку это одна и та же сумма, получим последний коэффициент b₂:

Вариант 1 можно рекомендовать, если сумма инвестиций не очень большая и если период ее освоения попадает под определение «краткосрочный» (менее года).

Вариант 2. Вид тренда временной выгоды и в этом случае получим с помощью следующей итерационной процедуры.

Этап 1. В момент времени t₀ =0 полагаем, что в течение Т дней нам не потребуются свободные деньги:

По истечении интервала Т будем располагать этой возвращенной суммой плюс плата за ссуду:

Сумму s(t₁) далее мы будем использовать по назначению.

Этап 2. В момент времени t₁=Т можно полагать, что по истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма

По истечении второго интервала Т будем располагать суммой

Сумму s(t₂) далее мы будем использовать по назначению.

Этап 3. В момент времени t₂ =2Т можно полагать, что по истечении следующих Т дней нам не потребуется сумма

По истечении третьего интервала Т нам вернут сумму

Сумму s(t₃) из возвращенных средств далее будем использовать по назначению.

Этап n. После этапа л получим выражение, аналогичное выражению для s^*(t₃).

Нетрудно заметить, что после очередного этапа и за вычетом s(t_n) имеем свободные средства

С учетом этих средств суммы, осваиваемые фирмой в результате предоставленных инвестиций, будут расходоваться приблизительно так, как это показано ломаной пунктирной линией на рис. 5.4б.

Последнее выражение может быть записано более компактно:

.

Далее обозначим

.

После соответствующих преобразований получим окончательное выражение:

.

Предельного конечного выражения при данном случае не существует при P >0. Поэтому при определении коэффициента b тренда х₃ (t) будем пользоваться конкретными значениями n. Приблизительный вид для х₃(t) показан на рис. 5.5, а. При больших значениях t вступает в силу множитель , который начинает «поднимать» этот тренд. Это можно трактовать как появление четвертого тренда. Однако здесь наличие старших трендов мы рассматривать не будем.

Определим коэффициент b₂ так, как это было сделано для варианта 1, но с конечным интервалом интегрирования:

.

Приравняем этот интеграл значению L_n и получим

Итак, мы рассмотрели только два варианта из множества альтернативных вариантов более полного использования финансовых средств.

Сумму L_¥ (вариант 1) или L_n (вариант 2) можно отнести к финансовым результатам фирмы в виде выручки или прибыли, подлежащей дальнейшему распределению. Далее рассмотрим численные различия между этими вариантами.

Сравнительные результаты просчета по обоим вариантам для конкретного случая показаны на рис. 5.5, б.

5.3. ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

5.3.1. ДИСКРЕТНАЯ СИСТЕМА И ЕЕ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Дискретная управляемая система - это система, в которой на вход хотя бы одной подсистемы (компонента или звена) подается дискретный сигнал. Исходя из такого определения любой объект микроэкономики (предприятие, корпорация, отрасль) является дискретной системой. Дискретный сигнал в отличие от непрерывного связан с дискретными событиями, возникающими в определенные моменты времени; при возникновении этих событий он имеет конкретное значение, в другие моменты времени сигнал считается отсутствующим (или нулевым).

Примеры дискретных событий: факт продажи партии продукции, подписание контракта, перечисление денежной суммы на расчетный счет объекта экономики, завершение фиксированного контрольного периода времени (например, финансового дня), по истечении которого может быть подсчитан баланс предприятия. Контрольный период времени для объекта экономики - это период дискретности т, по завершении которого можно определить точные значения входных воздействий и результатов деятельности объекта в денежном выражении. Внутри интервала дискретности такие значения не определяются.

Дискретный сигнал в зависимости от сложности его назначения может представлять собой некий атом-транзакт, поток транзактов с изменяющейся интенсивностью (в технических системах -дискрет). Сигнал содержит в себе информацию о материальном, информационном или денежном потоке, проходящем через какую-либо подсистему объекта. Подобная информация может быть передана посредством параметров сигнала, поэтому сигнал можно рассматривать как вектор. Будем отображать значения такой информации графически- в виде 8-импульса (рис. 5.6, а) в соответствии с площадью, которая определяется некоторым коэффициентом перед δ-функцией. Под термином «система» далее будем понимать объект микроэкономики вместе с органом управления.

Рис. 5.6. Дискретная система с k степенями свободы:

а - представление дискретной информации; б - система с передаточной функцией W(z) в виде «черного ящика»

5.3.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим описание системы относительно переменных «вход => выход». Процесс дискретизации можно описать таким образом:

где f*(t) - функция, описывающая дискретный сигнал в моменты времени nτ; τ- период дискретности.

Поскольку δ-функция определена на всей временной оси, над функцией /"(О можно выполнить преобразование Лапласа:

Выражение (5.1) является записью дискретного преобразования Лапласа. Однако для описания и анализа дискретных систем управления более компактным и удобным является z-преобразование.

Заменим в выражении (5.1) экспоненту е^pt на переменную z. Далее будем иметь дело с функцией f(t) только в моменты времени t=nτ, n =0, 1,2,... Фактически мы полностью перешли к дискретной функции f(t) со значениями f(nτ), n =0, 1, 2,... Причем z-преобразование такой дискретной функции определяется как

Таблицы соответствия вещественных функций-оригиналов и их z-преобразований (изображений на комплексной плоскости) можно найти в математических справочниках. Далее будем использовать некоторые свойства z-преобразований. Основные теоремы, определяющие эти свойства, а также основные используемые преобразования приведены в табл. 5.3.

Введем в рассмотрение передаточную функцию W(z) дискретной системы, изображенной на рис. 5.6, б в виде «черного ящика». Если известны входной сигнал f(t) и его изображение F(z), выходной сигнал х (t) и его изображение X(z), то передаточная функция должна установить соответствие между F(z) и X(z). Соотношение «вход → выход» в системе описывается рекуррентным уравнением k-го порядка (система с k степенями свободы):

Таблица 5.3

где f(nτ) - входная переменная; х (nτ) - выходная переменная; m≤k

Проведя z-преобразование и используя теорему о смещении независимого аргумента на целое число периодов при нулевых начальных условиях, получим соотношение

Введем в рассмотрение две функции:

· функцию w(t) - импульсную характеристику нашей системы;

· W(z) - z-преобразование- функции.

С помощью теоремы о свертке после соответствующих преобразований можно получить следующее выражение:

X(z) = W(z) F(z). (5.4)

Окончательно из (5.2) и (5.3) получим основную формулу, определяющую передаточную функцию W(z) системы:

Передаточная функция любой системы (подсистемы, компонента) - это функция комплексного переменного z. Вещественный модуль передаточной функции определяется по формуле

где Re W(z) - вещественная составляющая передаточной функции; Im W(z) - мнимая составляющая.

5.3.3. МОДЕЛЬ В КОНТУРЕ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

В последнее время для целей управления используются различные модели. Модель должна в сжатые временные сроки обеспечить прогноз результатов деятельности системы в условиях изменяющейся внешней экономической среды. Существуют следующие разновидности моделей:

1) статистические, позволяющие прогнозировать гладкие изменения в системе и окружающей ее экономической среде;

2) имитационные, дающие возможность проводить в ускоренном масштабе времени эксперименты, натурное воспроизведение которых нежелательно или невозможно (банкротства, катастрофы); при этом статистические данные о нежелательных катаклизмах отсутствуют (а если бы они и были, прогнозируемые изменения, которые представляют интерес, могли носить скачкообразный характер); статистику таких явлений можно «наработать» только в процессе прогонов модели;

3) игровые, позволяющие разрабатывать предварительные решения по выбору альтернативных вариантов (например, вариантов инвестирования).

Проведем структурную декомпозицию рассматриваемой системы - «черного ящика». Введем следующие обозначения подсистем: ЭП - подсистемы объекта экономики, реализующие основные экономические процессы с передаточной функцией W_эп (z); УО - управляющие органы в рассматриваемой системе с передаточной функцией W_уо (z); HM - настраиваемая модель, передаточная функция которой равна W_им (z).

Структурная схема включения настраиваемой модели в контур управления приведена на рис. 5.7, а. Такая схема известна в различных модификациях. Она обеспечивает неизменность динамических характеристик системы в целом при изменении динамических характеристик объекта в процессе изменений окружающей среды.

Например, при реализации инвестиционного проекта проектируется новый уникальный бизнес-план. Необходимо, с точки зрения администрации, обеспечить компанию неизменной управляемостью при всех условиях, возникающих во время бизнес-процесса. В этом случае передаточная функция настраиваемой модели W_им(z) выбирается так, чтобы она была оптимальной при неоптимальных реальных процессах. Выходная информация системы сравнивается с параметрами, получаемыми с помощью настраиваемой модели. Разность между ними вводится в цепь отрицательной обратной связи, после чего производится корректировка управляющих действий.

Передаточная функция системы с моделью в контуре управления получается с использованием свойств z-преобразований и определяется по формуле:

Утверждение. Если для целей управления создана модель, которая включена в контур управления по схеме, показанной на рис. 5.7, а, и позволяет получать оптимальные модельные параметры экономических процессов, то справедлива следующая закономерность: чем более чувствительны управляющие органы, тем ближе параметры системы к оптимальным, определяемым с помощью модели.

Доказательство. Требуется доказать, что, чем выше способность управляющих органов улавливать возмущения переменных х (t) и х_т (t), тем более адекватным по величине будет компенсирующее воздействие и (t) в результате их нежелательных отклонений. Другими словами, нужно большое усиление сигналов х (t) и х_т (t) и их элементарных изменений.

Определим вещественную функцию μ(z) = mod W_уо (z). Эта функция является неким аналогом коэффициента усиления (или производительности), известного в кибернетике и технике. В нашем случае необходимо, чтобы усиление управляющих органов неограниченно увеличивалось, т.е. μ (z)→ ∞. Передаточная функция W(z) зависит от W_yo(z) и соответственно от μ (z). Выполним в выражении (5.6) предельный переход и получим формулу:

Утверждение доказано. Благодаря формуле (5.7) модель в контуре управления можно называть моделью-эталоном.

В соответствии с вышеизложенным настраиваемые модели можно использовать для компенсации вредного влияния запаздывания в объекте управления на устойчивость процесса управления, закладывая в них возможности упреждения событий (в том числе и нежелательных).

5.3.4. ДВУШКАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Перспективным является применение настраиваемых моделей, связанное с использованием их для прогнозирования поведения системы при заданных возмущениях и различных законах управления, что позволяет отобрать оптимальные варианты управления. Для этой цели могут быть применены двушкальные системы (рис. 5.7, б), где органы управления и модели отнесены к быстрой части системы. В быстрой части производится выбор альтернативных вариантов бизнес-планов, анализ рисков. Модели работают в режиме периодического решения задачи управления в ускоренном масштабе времени (на рис. 5.7, б коэффициент k - это значение масштаба). Анализ всех вариантов должен быть выполнен за время, не превышающее период дискретности т, поэтому появляются дополнительные требования к времени моделирования.

Двушкальные системы способны работать с заведомо неточными (относительно прогнозирования) моделями объектов. В частности, это позволяет применять модель не выше второго порядка для объектов высокого порядка. Обычно под моделью в такой системе понимается не одна, а комплекс моделей. Причем для прогнозирования зачастую не хватает доступного (известного) математического аппарата и поэтому используется имитационное моделирование с CASE-технологией, ускоряющей создание и модернизацию моделей.

Рассмотренные выше возможности анализа экономических систем позволяют использовать кибернетические подходы для оценки свойств экономических процессов: управляемости, устойчивости, достижимости. Анализ этих свойств (особенно устойчивости) позволяет более объективно подойти к определению параметров различных бизнес-проектов с учетом рисковых ситуаций.

5.4. МОДЕЛЬ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЦЕССА

В настоящее время в связи с развитием имитационного моделирования применительно к методам адаптивного управления появился интерес к использованию системного анализа и методов общей теории систем для оценки устойчивости экономических процессов. На основе применения доступных информационных технологий создаются средства предварительной оценки эффективности инвестиционных проектов. Наглядным примером создания эффективного метода оценки инвестиционных проектов является метод, который был использован для оценок эффективности «инвестирования в безопасность».

Ниже указанный метод кратко рассматривается в качестве базового инструментария для оценки устойчивости процесса освоения инвестиций с упрощенным графиком перечисления инвестиционной суммы. Далее на его основе предлагается обобщенный метод, пригодный для различных графиков внесения инвестиционных сумм.

5.4.1. БАЗОВЫЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕССА ОСВОЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЙ

На основе применения методов адаптивного управления выбрана схема применения модели в контуре управления двушкальной системы, которая учитывает дискретный характер получения и преобразования экономической информации (см. рис. 5.76). Выходные результаты соответствующей модели - это финансовые результаты x(t) (в простейших случаях - это прибыль/убытки). В качестве входной функции f (t) используется график перечисления денежных средств (инвестиционной суммы). Причем считаем, что вся сумма V_p поступает на счета организаций, реализующих проект, сразу: в течение одного неделимого интервала времени τ, называемого интервалом дискретности. Время измеряется целым числом таких интервалов. В качестве τ можно выбрать один или несколько дней:

В разд. 5.3 получены параметры переходного процесса финансовых результатов х(t), позволяющие построить три основных тренда, входящих в х(t), с учетом свойств адаптации экономического процесса: x₁(t) - тренд спада производства, x₂(t) - тренд роста производства и x₃(t) - тренд временной выгоды (адаптации). Суммарное выражение для x(t) имеет вид:

Здесь х_n(t) - это тренд с номером п =1,2 или 3, а параметры а₀, a₁, а₂, Ь₀, b₁ Ь₂ получаются из характеристик объекта инвестирования и бизнес-плана, который проверяется на имитационной модели.

Передаточная функция системы, реализующей инвестиционный проект, по определению (5.4) равна

где

F(z) - z-преобразование входной функции f (t), имеющей вид (5.8), отражающей поступление инвестиций;

X(z) - преобразование выходной функции x(t), имеющей вид (5.9), отражающей финансовый результат освоения инвестиции.

В данном случае имеем следующее:

Перейдем к анализу устойчивости процесса и преобразуем передаточную функцию к следующему виду, используя выражение (5.5):

где Р (z) и Q (z) - полиномы.

Далее с учетом суммы (5.9) получим

5.4.2. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ СУММ ЧАСТЯМИ

Рассмотрим более общий и привлекательный для инвестора случай. Допустим, что стоимость инвестиционного проекта определена как V_p (долл.). По поводу того, каким образом эта сумма передается инвестором для реализации проекта, может быть не менее двух мнений.

1) С точки зрения компании, реализующей проект, эту сумму желательно получить сразу - в нулевой интервал дискретности.В этом случае компания получает максимальную свободу в обращении с денежными средствами.

2) Инвестор может и не иметь возможности сразу перечислить V_p (долл.). Тогда ему удобнее заплатить эту сумму по частям, через какие-то промежутки времени (но для компании это менее удобно). При этом возникают два взаимосвязанных вопроса:

• как оценить устойчивость процесса освоения инвестиций при получении денежной суммы по частям?

• насколько изменится устойчивость этого процесса? Ниже попытаемся найти ответ на эти вопросы. Поскольку мы определяли устойчивость процесса освоения инвестиций по виду переходного процесса в условиях, когда не все его внутренние мотивы и механизмы могут быть известны, то соответствующее заключение об устойчивости необходимо доказать. Введем следующие обозначения:

Т_р - время реализации инвестиционного проекта (или переходного процесса);

m - количество частей, на которые разбита сумма, вносимая инвестором;

Т_r - интервал времени, в течение которого инвестор реально, без ущерба для своего бизнеса может перечислить всю сумму в виде m частей, причем Т_г < Т_р (это очевидно);

V_r - сумма, которую инвестор реально внесет в виде m частей; V_i - сумма i -й части, 1 < i < m.

Если Т_r - это продолжительный интервал, то в условиях инвестиционного проекта и в договоре с инвестором можно учесть инфляционные процессы введением коэффициента дисконтирования и увеличением итоговой суммы инвестиций. Поэтому в общем случае (см. рис. 5.3, а) справедливы два соотношения:

Рассмотрим возможную худшую для компании стратегию перечисления денег, когда с течением времени инвестор вносит деньги все реже. Для упрощения математических формул, связанных с устойчивостью (и только), введем два вспомогательных условия:

1) интервал времени Т_r состоит из m составляющих, причем интервал с номером j в два раза меньше интервала с номером j+1, 1 <j<m- 1;

2) для обеспечения наблюдаемости результатов полагаем, что Т_r< Т₂ / 2 (можно было бы установить и более сильное условие: T_r << Т_р).

Утверждение 1. Если бизнес-план инвестиционного проекта обеспечивает реализацию проекта за время Т_p, а выходная функция х (t), отражающая финансовый результат освоения инвестиции во время переходного процесса, имеет вид (5.9), то выполнение взноса инвестиционной суммы в виде т частей не изменит формулу оценки устойчивости процесса освоения инвестиций по сравнению с одноразовым взносом всей суммы.

Доказательство. С учетом сделанных выше предположений проведем доказательство методом полной математической индукции для любого числа т при выполнении вспомогательных условий 1) и 2).

В начале доказательства считаем, что мы выполнили оценку устойчивости для случая т =1, как это было сделано выше. Далее предположим, что всю сумму невозможно получить сразу. Для определенности считаем, что будут два перечисления: т=2 и V_r = V₁ + V₂. В этом случае выберем интервал дискретности τ = Т_r / 2 (например, пусть τ - это 5 дней).

Введем в рассмотрение вспомогательную переменную V_s.

Шаг 1. Значение вспомогательной переменной V_s определяем по формуле

Дата добавления: 2015-04-29