Операторная форма записи уравнений элементов систем автоматического управления (САУ). Понятие передаточной функции

Чем выше порядок дифференциального уравнения элемента САУ, тем более сложным и громоздким является решение уравнения. Поэтому при составлении математического описания элементов САУ широко используется так называемая операторная форма записи. Суть ее заключается в том, что вводится оператор и с учетом преобразования Лапласа

,

устанавливающего связь между функцией-оригиналом x(t) и ее изо­бражением x(p), осуществляется переход от дифференциального урав­нения к алгебраическому. При этом первая производная от x(t) имеет изображение px(p), вторая – p x(p), третья – p x(p), и т. д. Интеграл от x(t) имеет изображение .

Например, если дифференциальное уравнение элемента САУ имеет вид

, (1)

то при нулевых начальных условиях его операторная форма записи будет выглядеть так

. (2)

Решив алгебраическое уравнение (2), мы найдем не оригинал x(t), а его изображение x(p). Определить оригинал по изображению можно или с помощью таблицы оригиналов и их изображений, или непосред­ственно, применив обратное преобразование Лапласа.

Операторная форма записи уравнений элементов проста и удобна, преобразовать и решить алгебраическое уравнение несравненно проще, чем дифференциальное. Именно это и обеспечило ее широкое применение в теории автоматического управления.

С операторной формой записи связано и понятие передаточной функции. В частности, передаточной функцией звена называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Так, если в уравнении (2) принять в качестве изображения входного сигнала f(p), а выходного – x(p), то передаточная функция звена

.

Задание 2. Для выполнения задания № 2 рекомендуется использовать следующие теоретические сведения.

Частотные характеристики звеньев. Связь амплитудно-фазовой частотной характеристики и передаточной функции звена

Частотные характеристики получили широкое использование для оценки динамических свойств звеньев САУ, а также при анализе и синтезе автоматических систем. Если на вход звена подать гармонический сигнал , то на его выходе после окончания переходного процесса имеет место также гармонический сигнал , отличающийся от входного по амплитуде и по фазе, но имеющий ту же частоту. При этом выражение

представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ), которая показывает, как изменяется амплитуда выходного сигнала и его фазовый сдвиг по отношению к амплитуде и фазе входного сигнала при гармоническом воздействии на входе и изменении частоты от нуля до бесконечности.

Зависимость отношения амплитуд этих сигналов от частоты A (ω) называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость фазового сдвига между ними от частоты φ(ω) – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Формула для расчета АФЧХ типового динамического звена может быть получена по известному выражению его передаточной функции, если в нем выполнить подстановку p = j ω.

Задание 3. Для выполнения задания № 3 рекомендуется использовать следующие теоретические сведения.

Дата добавления: 2015-04-29