Параллельное соединение элементов с постоянной интенсивностью отказов

Система с параллельным соединением элементов

Соединение элементов называется параллельным (в смысле надежности), если система работоспособна до тех пор, пока работает хотя бы один из ее элементов.

Структурная схема системы с параллельным соединением элементов изображена на рисунке 3.2.

Таким образом, при параллельном соединении система отказывает тогда и только тогда, когда отказали все ее элементы. Если - наработки до отказа каждого из элементов, то наработка до отказа всей системы .

Найдем функцию отказов системы

Итак, для системы с параллельным соединением элементов

.

Для функции надежности системы получаем

.

Пусть все элементы системы с параллельным соединением имеют одинаковую показательную надежность . Тогда

.

Частота и интенсивность отказов системы будут равны

;

.

Таким образом, при параллельном соединении элементов с постоянной интенсивностью отказов интенсивность отказа системы уже не будет постоянной, т.е. распределение наработки до отказа системы не будет показательным.

Запишем интенсивность отказов системы в следующем виде

Так как q(t) - возрастающая функция, q(0)=0, , то:

а) - возрастающая функция;

б) .

График интенсивности отказов показан на рисунке 3.3.

Найдем среднюю наработку до отказа системы с параллельным соединением.

.

Не будем считать интеграл, а для определения средней наработки используем другой метод - метод графа состояний системы.

Процесс функционирования системы представим в виде графа на рисунке 3.4.

Когда работают все элементы, система находится в состоянии . В этом состоянии она будет находится от момента начала работы некоторое случайное время . После отказа одного из элементов система переходит в состояние (работает n-1 элемент). В состоянии система находит случайное время , а потом переходит в состояние (работают n-2 элемента) и т.д.

Наконец, попав в состояние (работает только один элемент), система через случайное время переходит в состояние - состояние отказа системы.

Наработка до отказа системы .

Cледовательно, .

Найдем распределение cлучайной величины .

- вероятность того, что ни один из элементов не откажет за время t.

Следовательно, .

Получаем, что имеет такое же распределение, как и наработка до отказа системы с последовательным соединением n элементов.

Следовательно, .

Рассмотрим состояние , в котором работает n-1 элемент. Каждый из этих элементов к моменту перехода системы в состояние уже проработал время . Однако в силу замечательного свойства объектов с показательным распределением наработки распределение оставшегося времени наработки каждого элемента не зависит от величины . Можно считать, что каждый из этих n-1 элементов только что включился в работу.

Поэтому случайная величина имеет такое же распределение, как и наработка до отказа системы с последовательным соединением (n-1) элементов.

Следовательно, .

Аналогично, ,..., .

Средняя наработка системы с параллельным соединением элементов

,

где - средняя наработка каждого элемента.

Итак, при параллельном соединении n элементов с одинаковой постоянной интенсивностью отказов средняя наработка системы в раз больше средней наработки каждого элемента.

Если n велико, , т.е. .

Пусть теперь все элементы системы имеют различные значения интенсивности .

Тогда ,

и для средней наработки можно получить следующее выражение

Дата добавления: 2015-04-30