Смешанное соединение элементов

Последовательное соединение элементов. Нерезервированные системы. Структурная схема.

В этих системах, состоящих из n элементов, для безотказной работы необходима одновременная работа всех элементов. Отказ любого элемента вызывает отказ всей системы. Это очевидно при последовательном соединении элементов. Однако и при параллельном (фактически) соединении элементов может наблюдаться та же ситуация, если также не допускается возможность выхода из строя любого элемента. Другими словами, оба эти разных соединения соответствуют в данном случае одной и той же логике «или»: отказ одного или другого элемента приводит к отказу всей системы.

Примерами таких систем могут служить:

а) водовод, состоящий из п последовательно соеди­ненных участков труб (рис.2), авария любого из участков вызы­вает полное прекращение подачи воды, т.е. отказ системы;

б) насосная станция (НС), оборудованная п параллель­но включенными насосами, подающих вместе требуемое количество воды; выход из работы любого одного насоса приводит к недопустимому снижению подачи воды станцией снабжаемому объ­екту (см.принципиальную схему соединения элементов на рис.2);

в) система трех параллельно включенных водоводов, для успешной работы которой необходима одновременная работа всех во­доводов;

л

Такие системы называются нерезервированными и им соответствует одна и та же структурная схема надежности (рис.3). Не путать со схемой физического соединения!

рис.3

Очевидно, что если Р_i (t) - надежность i -го элемента, то по теореме о произведении вероятностей событий, вероятность того, что все элементы будут одновременно работать безотказно в течение заданного интервала времени t (логика «и»), будет равна произведению вероятностей:

P_c (t)= P₁ (t) P₂ (t) P₃ (t)……. P_n (t) (44)

В случае экспоненциального закона распределения имеем

P = e ^{– λ}₁^t e ^{– λ}₂^t …….. e ^{– λ}_n^t = e ^{– (λ}₁ ^{+ λ}₂ ^{+……+ λ}_n^{) t} (45)

Интенсивностъ отказов всей системы отсюда, очевидно, равна сумме интенсивностей отказов элементов:

λ_с = λ₁ + λ₂ +λ₃ +...... + λ_n (46)

Среднее время безотказной работы системы будет равно:

Т_с = (47)

Анализируя эти формулы, можно сделать вывод, что при структурном последовательном соединении элементов:

а) с увеличением числа элементов надежность системы уменьшается;

б) надежность системы меньше надежности любого ее элемента и среднее время безотказной работы системы будет меньше, чем среднее время безотказной работы одного элемента.

7.2 Параллельное соединение элементов. Резервирование систем.

Для повышения надежности работы сложных систем применяют резервирование их элементов. Примерами таких систем, например, является насосная станция, состоящая из 4-х насосов, из которых только 2 являются рабочими, а остальные находятся в резерве. Или система, состоящая из 3-х параллельно включенных ниток водоводов, причем для подачи расчетного количества воды достаточно работы 2-х, а третья находится в резерве. Задача определения вероятности безотказной работы таких систем при параллельном соединении элементов решается несколько сложнее. Считаем, например, что для безотказной работы всей системы достаточно работы хотя бы одного из ее элементов. Остальные, таким образом, являются фактически резервными.

Путь решения упрощается, если использовать противоположный показатель - вероятность отказа. Вероятность отказа системы из n параллельно работающих элементов, когда они все выходят из строя (логика «и»), равна произведению вероятностей:

Q_c(t) = Q₁ Q₂ Q₃.. Q_n = (1-P₁) (1-P₂)….(1-P_n) (48)

Тогда вероятность безотказной работы той же системы равна:

Р_c(t) = 1 - Q_c = 1 – (1-P₁) (1-P₂)….(1-P_n) (49)

Например, для системы из двух параллельно соединенных элементов структурная схема для расчета надежности изображена на рис.4.

рис.4

В случае экспоненциального закона распределения вероятностей в этом случае будем иметь:

Р_c(t) = 1 – (1- e ^–λ₁^t) (1- e ^–λ₂^t)

Если оба элемента одинаковы, т.е. λ₁ = λ₂ = λ, тогда

Р_c(t) = 2 e ^{–λ t} - e ^{–2 λ t} (50)

Вероятное (среднее) время безотказной работы такой системы

Т _{ср. с} = - = (51)

Очевидно, что при параллельном соединении элементов общая надежность системы повышается. Она выше, чем надежность одного элемента. Такой способ повышения надежности называют резервированием. Если элемент системы не нагружен, то он называется «холодным» резервом. Резервный элемент может быть также включен в работу, как основной элемент, в этом случае он называется «горячим» резервом. В системах водоснабжения широко используется резервирование для обеспечения требуемой надежности водоподачи. Резервируются водопроводные сооружения в целом или их элементы (насосы, фильтры, отстойники, емкости и т.д.).

Основным параметром резервирования является его кратность. Пусть n - общее число элементов в системе, а m - число элементов, необходимых для нормальной работы системы. Под кратностью резервирования r понимается отношение числа резервных элементов к числу основных:

r = (n - m) / m (52)

Бывает резервирование с целой кратностью, когда величина r есть целое число (в этом случае всегда m = 1), и резервирование с дробной кратностью, когда r есть дробное несокращаемое число. Например

r = 2/2 есть резервирование с дробной кратностью.

1). При резервировании с постоянно включенным резервом и с целой кратностью вероятность безотказной работы системы определяется по формуле:

Р_сист (t) = 1 - [ 1 - Р₁(t) ^. Р₂(t)^......... Р_m ]^r+1, (53)

где Р_i(t) - вероятность безотказной работы отдельного i-го элемента системы.

Если все элементы системы одинаковы, то при экспоненциальном законе надежности получаем

Р_сист(t) = 1 - [ 1 - e ^-l×m ] ^r+1, (54)

а для среднего времени наработки системы на отказ

Т_{ср сист} = (1/l) ^. 1/(1+i) (55)

Здесь l - интенсивность отказа отдельного элемента. Например, при n =3 и m =1 получаем (r =(n-m)/m =(3-1)/1=2):

Р_сист= 1- [1-Р^m] ^r+1 =1- [1-P]³ = 1 - (1-3^.P+3^.P²-P³) = 3P-3P²+P³ =

= 3^.е^-lt - 3^.е^-2l×t+e^3lT

а Т_{ср сист} = 1/l (1+1/2+1/3) = 11/6l

2). При резервировании с постоянно включенным резервом и дробной кратностью получаем следующие формулы:

Р_сист(t)= å C ^. Р_о^n-i(t) ^. å(-1)^{j .} C_i^{j .} Р_о^j(t) (56)

T_{ср сист}= 1/l ^. 1/(m+i) (57)

где Р_о(t) - вероятность безотказной работы отдельного элемента системы, С_i^j - число сочетаний из i элементов по j. Например, при n =4 и m =2 (r=n-m/m=2/2) получаем:

Р_сист(t)= C₄^0. Р₀⁴ + С₄^1. Р₀^3. (1-С₁^1. Р₀) +С₄^2. Р₀^{2 .} (1-С₂^{1 .} Р₀+С₂^{2 .} Р₀²)=

=åС₄^i. Р₀^{4-i .}å(-1)^{j .} С_i^{j .} Р₀^j = P₀⁴+4P₀^3.(1-Р₀)+6^.Р₀^2.(1-2Р₀+Р₀²) =

=6^.Р₀²-8Р₀³+3Р₀⁴

Т_{ср сист}= 1/l^. 1/(2+i) = 1/l^. (1/2+1/3+1/4) =

3). В случае отсутствия резервирования (r=0), когда к отказу системы приводит отказ любого из ее элементов, получаем:

Р_сист(t)=Р₁(t)^. Р₂(t) ^. Р₃(t) ^............Р_n(t) (58)

Для одинаковых элементов и при экспоненциальном законе надежности:

Р_сист (t)= P₀ⁿ(t) = e ^{- n×l×t} (59)

Т_{ср сист}= (60)

Для всех указанных случаев можно составить таблицу, например, для системы, состоящей не более чем n = 5 однотипных элементов, при любых требованиях, накладываемых на возможные состояния их работы (работа m элементов из n), где каждая клетка таблицы дает формулу для вычисления вероятности безотказной работы соответствующей системы.

Таблица 1

m-число эле ментов для нормальн.	Значения Рсист при общем числе n элементов в системе
Работы	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5
	Р0	2Р0-Р0^2	3Р0-3Р0^2+Р0^3	4Р0-6Р0^2+4Р0^3- -Р0^4	5Р0-10Р0^2+10Р0^3- -5Р0^4+Р0^5
	-	Р0^2	3Р0^2-2Р0^3	6Р0^2-8Р0^3+3Р0^4	10Р0^2-20Р0^3+ +15Р0^4-4Р0^5
	-	-	Р0^3	4Р0^3-3Р0^4	10Р0^3-15Р0^4+6Р0^5
	-	-	-	Р0^4	5Р0^4-4Р0^5
	-	-	-	-	Р0^5

Обычно смешанное соединение элементов в систему представляет собой параллельно-последовательное или последовательно-параллельное соединение элементов.

Например, на рис. 5 приведены два варианта обвязки насосной станции, состоящей из двух насосов. Очевидно, что в обоих случаях используется одно и то же оборудование, помимо насосов имеются также задвижки и обратные клапаны. Какая из этих схем обладает большей надежностью, при условии, что оба насоса являются рабочими?

з н ок з н ок

а) б)

рис.5

В данном случае имеем смешанное соединение элементов в систему. Для обоих случаев следует составить структурные схемы надежности и написать уравнения надежности.

Очевидно, что для схемы 5 а отказ насосной станции происходит при выходе из строя по логике “или” любого из ее компонентов. Структурная схема надежности будет в этом случае последовательной, она представлена на рис.6.

з н ок з н ок

рис.6

Нетрудно составить уравнение надежности для этого случая:

P_c (t) = P_з(t) P_н(t) P_ок(t) P_з(t) P_н(t) P_ок(t), (61)

и найти вероятность безотказной работы системы в течение заданного интервала времени.

В случае схемы 5 б однотипные элементы соединены в блоки, которые соединены последовательно. Отказ блоков, состоящих из задвижек или обратных клапанов, происходит по логике “и”, отказ блока насосов происходит по логике “или”. В соответствии с логикой отказов следует составить структурную схему надежности всей насосной станции, которая в этом случае будет смешанной, параллельно-последовательной (рис.7).

з н н ок

рис.7

Далее следует составить уравнение надежности для каждого из трех блоков (пользуясь табл.1), а затем для всей насосной станции. Уравнение надежности имеет в этом случае следующий вид:

P_c (t) = [2∙ P_з(t) – P² _з(t)] ∙ [P² _н(t)] ∙ [ 2∙ P_ок(t) – P² _ок(t)] (62)

Затем следует произвести расчет вероятности безотказной работы в указанном интервале времени и сделать вывод о том, какая из схем обвязки обладает большей надежностью.

7.4. Соединение элементов системы "мостиком".

Если резервиро­ванные элементы системы дополнительно соединены обводной ли­нией (перемычкой), то такие системы более надежны по своей работоспособности; например, два водовода, соединенные пере­мычкой, два насоса, работающие на общую схему водоснабжения и соединенные между собой обводной линией (см. рис. 8 и 9).

1 3 5 8

4 7

2 6 9

рис. 8 рис. 9

Такие принципиальные схемы соединений элементов систем называются "мостиком". Для расчета надежности таких систем необходимо сначала составить структурную схему с учетом тре­бований к работоспособности элементов системы. Например, система насосной группы (рис.9) будет нормально функционировать, если будут работоспособны элементы 1, 3, 5, 8 или 1, 3, 5, 7, 9 или 2, 4, 6, 9 или 2, 4, 6, 7, 8. Структурная схема в этом случае будет иметь вид, предс­тавленный на рис.10.

V

Рис.10

Для расчета общей надежности при соединении "мостиком" применяется правило разложения на множители: «надежность системы равна надежности мостика (в данном случае элемента 7) Р₇, умноженной на надежность системы без него Р_х (рис. 11а), плюс произведение отказа мостика (1-Р₇) на надежность оставшихся элементов (рис.11б)», то есть

т.е. Р_с(t) = Р₇Р_х + (1-Р₇)Р_y (63)

Р_х

а)

Р_у

б)

рис. 11

Дата добавления: 2015-04-30