Исходные данные к задаче №1 2 страница

Продолжение таблицы 5

№ вар	Значения lэл, 1/год	ТВ		№ вар	Значения lэл, 1/год	ТВ
	0,32	0,33	0,34	0,35	0,36				0,12	0,25	0,2	0,05	0,07
	0,37	0,38	0,39	0,4	0,42				0,18	0,35	0,27	0,4	0,1
	0,41	0,9	0,8	0,7	0,15				0,15	0,2	0,3	0,2	0,15
	0,4	0,5	0,3	0,25	0,2				0,17	0,1	0,15	0,25	0,3
	0,45	0,55	0,35	0,2	0,15				0,13	0,12	0,09	0,07	0,1
	0,25	0,15	0,3	0,45	0,2				0,27	0,35	0,4	0,15	0,2
	0,17	0,2	0,3	0,5	0,2				0,3	0,45	0,25	0,2	0,05
	0,18	0,25	0,35	0,45	0,27				0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,15				0,5	0,2	0,1	0,3	0,08

Задача 2

1. Произвести расчет вероятности безотказной работы R_с структуры, представленной на расчетной схеме надежности функционирования. S_проп всех элементов равно 1. Значение интенсивности отказов элементов l_с (1/год), среднего времени восстановления системы T_в (час).

2. По найденному значению R_с определить l_с, Т_ср, значение К_г структуры и Q_с.

Таблица 6

Исходные данные к задаче 2

№ вар	Значения lэл, 1/год	ТВ
	0,7	0,8	0,9	0,75	0,6	0,7	0,8	0,9
	0,75	0,85	0,95	0,8	0,9	0,75	0,85	0,95
	0,8	0,8	0,85	0,7	0,6	0,8	0,8	0,85
	0,65	0,5	0,5	0,6	0,7	0,65	0,5	0,5
	0,09	0,1	0,1	0,7	0,1	0,09	0,1	0,1
	0,12	0,14	0,15	0,1	0,16	0,12	0,14	0,15
	0,13	0,15	0,16	0,5	0,17	0,13	0,15	0,16
	0,14	0,16	0,17	0,12	0,18	0,14	0,16	0,17
	0,15	0,17	0,18	0,13	0,19	0,15	0,17	0,18
	0,16	0,7	0,8	0,14	0,09	0,16	0,7	0,8
	0,17	0,8	0,9	0,15	0,1	0,17	0,8	0,9
	0,18	0,9	0,1	0,16	0,11	0,18	0,9	0,6
	0,19	0,1	0,11	0,17	0,12	0,19	0,1	0,11
	0,9	0,11	0,12	0,18	0,13	0,9	0,11	0,12
	0,8	0,12	0,7	0,19	0,14	0,8	0,12	0,7
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,5	0,6	0,7
	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	0,6	0,7	0,8
	0,11	0,12	0,13	0,14	0,15	0,11	0,12	0,13
	0,16	0,17	0,18	0,19	0,2	0,16	0,17	0,18
	0,21	0,22	0,23	0,24	0,25	0,21	0,22	0,23

Продолжение таблицы 6

№ вар	Значения lэл, 1/год	ТВ
	0,22	0,23	0,24	0,25	0,26	0,22	0,23	0,24
	0,27	0,28	0,29	0,3	0,32	0,27	0,28	0,29
	0,32	0,33	0,34	0,35	0,36	0,32	0,33	0,34
	0,37	0,38	0,39	0,4	0,42	0,37	0,38	0,39
	0,41	0,9	0,8	0,7	0,15	0,41	0,9	0,8
	0,4	0,5	0,3	0,25	0,2	0,4	0,5	0,3
	0,45	0,55	0,35	0,2	0,15	0,45	0,55	0,35
	0,25	0,15	0,3	0,45	0,2	0,25	0,15	0,3
	0,17	0,2	0,3	0,5	0,2	0,17	0,2	0,3
	0,18	0,25	0,35	0,45	0,27	0,18	0,25	0,35
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,15	0,1	0,2	0,3
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,2	0,1	0,2	0,3
	0,2	0,3	0,2	0,5	0,25	0,2	0,3	0,2
	0,3	0,2	0,5	0,6	0,35	0,3	0,2	0,5
	0,2	0,1	0,4	0,6	0,15	0,2	0,1	0,4
	0,3	0,4	0,5	0,7	0,1	0,3	0,4	0,5
	0,2	0,4	0,6	0,8	0,15	0,2	0,4	0,6
	0,6	0,5	0,3	0,7	0,25	0,6	0,5	0,3
	0,2	0,4	0,6	0,1	0,2	0,2	0,4	0,6
	0,1	0,3	0,4	0,5	0,17	0,1	0,3	0,4
	0,3	0,4	0,7	0,8	0,23	0,3	0,4	0,7
	0,2	0,1	0,4	0,5	0,27	0,2	0,1	0,4
	0,8	0,1	0,3	0,6	0,3	0,8	0,1	0,3
	0,1	0,3	0,5	0,7	0,18	0,1	0,3	0,5
	0,3	0,6	0,7	0,8	0,13	0,3	0,6	0,7
	0,1	0,2	0,7	0,3	0,05	0,1	0,2	0,7
	0,2	0,3	0,6	0,8	0,17	0,2	0,3	0,6
	0,2	0,4	0,7	0,1	0,12	0,2	0,4	0,7
	0,3	0,5	0,8	0,1	0,1	0,3	0,5	0,8
	0,1	0,3	0,5	0,7	0,25	0,1	0,3	0,5
	0,3	0,7	0,5	0,8	0,15	0,3	0,7	0,5
	0,2	0,5	0,3	0,4	0,18	0,2	0,5	0,3
	0,15	0,3	0,25	0,1	0,05	0,15	0,3	0,25
	0,12	0,25	0,2	0,05	0,07	0,12	0,25	0,2
	0,18	0,35	0,27	0,4	0,1	0,18	0,35	0,27
	0,15	0,2	0,3	0,2	0,15	0,15	0,2	0,3
	0,17	0,1	0,15	0,25	0,3	0,17	0,1	0,15
	0,13	0,12	0,09	0,07	0,1	0,13	0,12	0,09
	0,27	0,35	0,4	0,15	0,2	0,27	0,35	0,4
	0,3	0,45	0,25	0,2	0,05	0,3	0,45	0,25
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,1	0,2	0,3
	0,5	0,2	0,1	0,3	0,08	0,5	0,2	0,1

Методические указания по решению задач 1 и 2 расчетного задания №3

Для определения значения R_c в задачах 1 и 2 принимается алгоритм разрезания структур по одной или нескольким логическим переменным. Этот алгоритм основан на теореме разложения алгебры логики, согласно которой функции алгебры логики (ФАЛ) после вынесения какой-либо логической переменной и ее отрицания может быть представлена в виде:

y (x₁, x₂…, x_i, … x_m) = x_i (x_i, x₂,…, 1, … x_m) x`_i (x_i, x₂,…, 0, …, x_m) (5)

Теорема разложения позволяет свести мостиковую схему к последовательно-параллельным структурам. Действительно, расчетная схема для одномостиковой структуры на рис 5а после вынесения переменной x₅ может быть

изображена в виде:

Рис.6 Структурная схема после разложения исходной схемы по x₅

Из рис. 6 видно, что мостиковая структура эквивалентна дизъюнкции двух последовательно-параллельных схем, в которых в одном случае точки а и b замкнуты накоротко (своеобразный опыт короткого замыкания), а в другом – разомкнуты (опыт холостого хода).

В результате этой операции получим исходную логическую функцию

Y(X₁,…, X₅) в следующем виде:

(6)

Далее с учетом правил и операций алгебры логики (АЛ) заканчиваем логические преобразования, приводя логическую функцию к виду ДНФ, затем вместо X₁ подставляем значения R₁ вместо знаков дизъюнкции ставим знаки «+» и находим значение R_С.

Схема на рис. 5б является более сложной структурой, чем выше рассмотренная и для определения R_C здесь применяют алгоритм разрезания, который заключается в следующем:

1. Подсчитывают число вхождений n₁ каждой буквы X₁ в уравнение функции Y (X₁, X₂,…, X_m).

2. Среди чисел n₁ выделяют максимальное и соответствующую ему букву X₁ полагают сначала равной 0, а затем 1 и для каждого случая разрезания выписывают результат подстановки соответствующей константы в Y(X_1, X₂,…, X_m); Допустим, что это будет X₁

X₁ = 0; Y₀ = Y(0, X₂,…, X_m)

X₁ = 1; Y₁ = Y(1, X₂,…, X_m) (7)

Это операция и есть операция разрезания по логической переменной X₁.

3. Преобразуют Y₀ и Y₁ с помощью правил АЛ.

4. Если после преобразований, хотя бы одна из букв входит в выражение функции более одного раза, то операцию разрезания продолжают по этой букве и проводят ее до тех пор пока ни в одной из полученных функций не будет повторов входящих в них букв.

В качестве примера к задаче №2 приведем разрезание по переменной X₈. Можно записать исходную логическую функцию в виде Y = Z&X7, тогда

(8)

Преобразуем и :

(9)

Видим, что эта функция бесповторная и дальнейших преобразований

не требует.

(10)

Здесь буквы входят по два раза и преобразование нужно продолжить, например, по букве X₃ и т.д., пока все получаемые функции не будут бесповторными. Затем все полученные бесповторные функции записываются в

строчном или матричном виде, заканчиваются логические преобразования и с учетом независимости событий после подстановки R_i, q_i и знаков «+» и «-» подсчитывается значение R_c и Q_с и другие показатели надежности.

Основные операции и правила алгебры логики (АЛ)

1. Операция отрицания или инверсии (¢)

1¢ = 0

0¢ = 1 (11)

2. Операция конъюнкции (&), логическое умножение

0&0 = 0

0&1 = 0

1&0 = 0

1&1 = 1 (12)

Конъюнкция А&B двух высказываний представляет собой сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны составляющие его высказывания А и B.

3. Операция дизъюнкции (V)- логическое сложение

0V0 = 0

0V1 = 1

1V0 = 1

1V1 = 1 (13)

Дизъюнкция двух высказываний АVВ является сложным высказыванием, которое ложно тогда и только тогда, когда оба слагаемых А и В ложны.

4. Правила для одной логической переменной

А&1 = А АV0 = А

А&0 = 0 АVА = А

А&А = А АVА¢ = 1

А&А¢ = 0 А² = А

АV1 = 1 А²¢ = А¢ (14)

5. Правила для двух и трех логических переменных

Функции конъюнкции и дизъюнкции подчиняются сочетательному (ассоциативному) (15) и переместительному (коммутативному) (16) законам:

А&(В&С) = (А&В)&С) = А&В&С

АV(ВVС) = (АVВ)VС = АVВVС (15)

А&В = В&А

АVВ = ВVА (16)

Эти правила выражают свойства дизъюнкций и конъюнкций, взятых в отдельности, при этом связь с помощью знака конъюнкции считается более тесной (старшее действие), чем с помощью знака дизъюнкции (младшее действие).

Распределительный (дистрибутивный) закон для конъюнкции относительно дизъюнкции записывается:

А&(В&С) = (АVВ) &(АVС), (18)

и в обычной алгебре не имеет места. Закон двойственности или закон инверсий позволяет заменять отрицание конъюнкции дизъюнкцией отрицаний и отрицание дизъюнкции конъюнкцией отрицаний:

(А&В)¢ = А¢VВ¢

(АVВ)¢ = А¢&В¢ (19)

Если применить правило А²= А, то получим:

А&В = (А¢VВ¢)¢

АVВ =(А¢&В¢)¢ (20)

Правила (19), (20) называют формулами де Моргана, и для произвольного числа логических переменных имеют вид:

, (21)

где логические переменные обозначены одной буквой X с различными индексами i(i=1,2,…,n), а знаки конъюнкций и дизъюнкций используются аналогично знакам произведения П и суммы S обычной алгебры.

Для упрощения сложных логических выражений могут применяться следующие операции:

- операция поглощения

(А&В) VА = А

А&(В VА) = А (22)

- операция склеивания

(А&В) V(А¢&В) = АВ V А¢В = В(АVА¢) = Вּ1 =В (23)

Далее введем в рассмотрение «степень» аргумента X_i, которую будем обозначать , где a_i – двоичная величина. Положим, что

X_i если a_i = 1; X_i^¢ если a_i = 0 (24)

Определение 1. Выражение вида

(25)

Называется элементарной конъюнкцией (К) Ранга r, т.к. X_i X_i^¢= 0 и X_i X_i… X_i= X_i, то все буквы в элементарной конъюнкции будут различны.

Определение 2. Выражение вида

K₁ V K₂V….VK_s (26)

где K_j – элементарные конъюнкции различных рангов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Определения 3. Выражение вида

(27)

называется элементарной дизъюнкцией (Д) ранга r.

Определение 4. Выражение вида

D₁& D₂&… & D_S (28)

где D_i – элементарные дизъюнкции различных рантов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ)

Определение 5.

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными, если их произведение равно 0. Например, произведение элементарных конъюнкций X₁ X^¢₂ и X₁ X₂ X₃ X₄ равно 0 поскольку X^¢₂& X₂=0.

Определение 6.

ДНФ называется ортогональной (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны.

Определение 7.

ДНФ, в которой все буквы имеют разные номера называется бесповторной ДНФ (ОДНФ). Например, буквы X₁ X^¢₁ имеют один и тот же номер и не могут одновременно входить в БДНФ.

Определение 8.

Функция алгебры логики (ФАЛ), все буквы которой имеют разные номера, называется бесповторной ФАЛ (БФАЛ).

ФАЛ могут быть представлены в табличной форме, в виде аналитической записи в строку и в виде логических матриц. Пусть ФАЛ имеет следующий вид записи в строку:

(29)

В матричной форме эта ФАЛ может быть представлена в виде:

(30)

Причем, вторая матрица записана в ДНФ.

Расчетное задание №4

Задача 1

1. Рассчитать вероятность безотказной работы Q_c, l_c, R_c, T_ср нижеприведенной структуры по рис. 7 табличным методом.

2. Принять R₁, R₂, …, R₈ = R согласно варианта задания (Табл. 7).

3. Выполнить расчет этой же структуры схемно-логическим методом, приняв данные к задаче 3.2. Определить R_c, Q_c, l_с, T_ср и К_г.

Рис.7 Структурная схема к задачам 1 и 2

Таблица 7

Исходные данные к задаче 1

№ варианта	Значение R	№ варианта	Значение R	№ варианта	Значение R
1.	0,7	2.	0,71	3.	0,72
4.	0,73	5.	0,74	6.	0,75
7.	0,76	8.	0,77	9.	0,78
10.	0,79	11.	0,8	12.	0,81
13.	0,82	14.	0,83	15.	0,84
16.	0,85	17.	0,86	18.	0,87
19.	0,88	20.	0,9	21.	0,91
22.	0,92	23.	0,93	24.	0,94
25.	0,95	26.	0,97	27.	0,98
28.	0,96	29.	0,99	30.	0,5
31.	0,52	32.	0,54	33.	0,56
34.	0,58	35.	0,6	36.	0,62
37.	0,64	38.	0,66	39.	0,68
40.	0,69	41.	0,715	42.	0,725
43.	0,63	44.	0,61	45.	0,51
46.	0,735	47.	0,745	48.	0,995
49.	0,855	50.	0,885	51.	0,895
52.	0,7	53.	0,75	54.	0,8
55.	0,85	56.	0,88	57.	0,91
58.	0,93	59.	0,95	60.	0,97

Методические указания к заданию №4

4.1.Табличный метод расчета надежности систем электроснабжения

Этот метод основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий в качестве которых здесь выступают элементарные конъюнкции условий работоспособности или неработоспособности системы, записанные в ДНФ с помощью путей успешного функционирования

Дата добавления: 2015-04-30