Исходные данные к задаче №1 3 страница

(31)

или минимальных сечений отказов

(32)

Согласно указанной теореме и выражений (31) и (32) вероятность безотказной работы системы или вероятность ее отказа можно вычислить по формулам:

=

(33)

(34)

где знаки суммы распространяются на различные значения индексов i, j, k.

Согласно этому методу составляется специальная таблица, в которой

размещается m строк по числу элементов в системе и C столбцов, причем

, (35)

где - число сочетаний из d по k.

В названиях строк указываются вероятности безотказной работы элементов R_xk (или вероятности их отказов r_xk), а в названиях столбцов записываются все возможные сочетания конъюнкций (или S_j), взятых по одной, по две, по три и т.д. Указываются также знаки этих конъюнкций «+» или «-», чередующиеся в соответствии с формулами (34) или (35). Указанную таблицу заполняет крестиками и черточками, причем крестиками отличают вероятности тех событий, которые входят в данную конъюнкцию, а черточками – вероятности событий, отсутствующих в ней. В качестве примера приведена таблица расчета надежности для системы из 8 элементов, имеющих одинаковую вероятность безотказной работы (Табл. 8).

Таблица 8

Расчет надежности

RXK

ρ1

ρ2

ρ3

ρ4

ρ1 ρ2

ρ1 ρ3

ρ1 ρ4

ρ2 ρ3

ρ2 ρ4

ρ3 ρ4

ρ1 ρ2 ρ3

ρ1 ρ2 ρ4

ρ1 ρ3 ρ4

ρ2 ρ3 ρ4

ρ1 ρ2 ρ3 ρ4

«+»

«-»

«+»

«-»

RX1

X

X

-

-

X

X

X

X

X

-

X

X

X

X

X

RX2

-

-

X

X

-

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

RX3

X

X

-

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

RX4

-

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

RX5

X

-

-

X

X

X

X

-

X

X

X

X

X

X

X

RX6

-

X

X

-

X

X

-

X

X

X

X

X

X

X

X

RX7

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

RX8

-

X

-

X

X

-

X

X

X

X

X

X

X

X

X

RC

0,9^4

0,9^6

0,9^4

0,9^6

0,9^7

0,9^7

0,9^7

0,9^7

0,9^8

0,9^7

0,9^8

0,9^8

0,9^8

0,9^8

0,9^8

Табличный метод расчета надежности удобен тем, что автоматически выполняется умножение логических переменных самих на себя согласно тождеству:

(36)

и взаимно уничтожаются многие одинаковые конъюнкции, вероятности которых имеют разные знаки.

Так, после заполнения табл.6 крестиками и черточками, можно вычеркнуть те одинаковые конъюнкции, которые вошли в нее с разными знаками. В данном случае – это столбцы 9,11,14 и 15.

4.2. Схемно-логический метод расчета надежности систем электроснабжения

Схемно-логический метод расчета основан на обобщенной теореме разложения произвольной функции алгебры логики (АЛ) по любым i-м аргументам и использовании специальной релейно-контактной схемы (РКС),

(37)

являющейся моделью условий работоспособности данной системы. На РКС

каждый элемент изображается электрическим контактом, а провода, связываю

щие элементы, заменяют логические операции и (&) И и ИЛИ (V), при этом РКС всегда получается в виде последовательно-параллельных контактных цепей с многими повторяющимися контактами. Для упрощения контакты на РКС можно не изображать, а вместо логических переменных ставить их номера, например (рис. 8):

  1^|

  x₁

  x₁

Рис.8

Некоторые соотношения АЛ изображаются на РКС следующим образом:

1. x1x2(x3 V x^|3) = x1x2	─1─2─┬ 3 ┬ = ─1─2─ └ 3’┘
2. x1 V (x1x2)= x1	┬─1─┬ = ─1─ └1─2┘
3. x1x2x3 V x1x2x4 = x1x2(x3 V x4)	┬1─2─3┬ = ─1─2┬3┬ └1─2─4┘ └4┘
4. x1x1...x1 = x1	─1─1─…─1─ = ─1─
5. x1 V x1 V... V x1 = x1	┬1┬ = ─1─ ├1┤ ׃: └1┘
6. x1x^|1 = 0	─1─1’─ = ─ ─ (разрыв цепи)
7. x1 V x^|1 = I	─┬1 ┬ = ├───┤ (закорачивание цепи) └1’┘
8. (x1x2...xn) V I = I	┬1─2─…─n┬ = ├───┤ (то же) └───────┘

Рис.9

Алгоритм применения схемно-логического метода

1. По условиям работоспособности системы, записанным в ДНФ изображается РКС. При этом контакты, входящие одновременно в несколько параллельных цепей, выносятся в общую для них последовательную цепь.

2. Выбирается для вынесения в последовательную цепь такая комбинация контактов, которая обеспечивает размыкание всех или большей части параллельных цепей РКС. После вынесения группы из r контактов РКС распадается на 2 r параллельных схем.

3. В каждой из 2r полученных параллельных схем производят преобразования, вытекающие из теоремы разложения (37), а именно: контакты, одинаковые с вынесенными замыкают, а отрицания вынесенных контактов размыкают.

4. В схемах, полученных в результате преобразований, удаляют все разомкнутые цепи и заменяют все группы контактов, которые короткозамкнуты, проводом (линией). Контакты, имеющиеся во всех параллельных цепях, выносят в общую последовательную цепь, а цепи шунтируемые другими параллельными им цепями удаляют.

5. Если схема оказалась постоянно разомкнутой, то она исключается из дальнейшего рассмотрения.

Если схема оказалась постоянно замкнутой, то она не подвергается дальнейшим преобразованиям. Если схема бесповторна, то процесс ее преобразования

заканчивается.

Если схема не является бесповторной, то переходят к п.2 и производят аналогичные преобразования.

По полученным в результате преобразований схемам записывают ФАЛ. Затем от ФАЛ переходят к вероятностной функции, при этом каждая буква в ФАЛ заменяется вероятностью ее равенства 1:

; ; (38)

Отрицание функции заменяется разностью между 1 и вероятностью равенства этой функции 1.

Например:

(39)

Знаки логического умножения и сложения заменяются знаками арифметического умножения и сложения.

Вероятность равенства 1 функции , представленной в бесповторной форме можно находить по ее конъюнктивной форме, полученной за счет применения теоремы де Моргана.

Методические указания к заданию 4.2.

Рис. 9 Исходная расчетная структура

Логическая матрица путей успешной работы имеет следующий вид

(40)

По исходной матрице строим РКС

Рис. 10 РКС для исходной матрицы

Рис. 11 Схемы после разложения РКС

После исключения постоянно разомкнутой схемы 1 остаются для дальнейшего рассмотрения схемы 2, 3, 4.

Логическая матрица для схем 2, 3, 4 после преобразования имеет вид:

(40)

Выходное алгебраическое выражение имеет следующий вид:

Контрольные вопросы

для зачета по дисциплине «Надежность систем электроснабжения»

1. Общие определения в теории надежности: отказ элемента (системы), безотказность, долговечность, ремонтопригодность.

2. Случайное явление, невозможное событие, достоверное событие, несовместные и равновозможные события, полная группа событий.

3. Теоретическое, геометрическое и статистическое определение вероятности

события.

4. Правило сложения вероятностей, следствия из этого правила, правило сложения вероятностей двух и более совместных событий, геометрическая интерпретация этого правила.

5. Понятие произведения двух и более событий. Правило умножения вероятностей, зависимых и независимых событий.

6. Формула полной вероятности, формула вероятностей гипотез (формула Бейеса), априорные и апостериорные вероятности.

7. Теорема о повторении опытов, расчет вероятного числа отказов элементов и

систем.

8. Закон распределения случайной величины (СВ). Функция и плотность распределения СВ, их определение.

9. Дифференциальный закон распределения СВ, примеры характерных кривых распределения СВ.

10. Числовые характеристики СВ, математическое ожидание (МО) СВ, среднее арифметическое МО, их определение.

11. Характеристики рассеивания СВ, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО), их определение.

12. Законы распределения дискретных СВ, биноминальное распределение и распределение Пуассона, их характеристики и применение в теории надежности (ТН).

13. Определение потока отказов, свойства ординарности, стационарности и отсутствия последействия. Простейший поток отказов.

14. Законы распределения непрерывных СВ. Экспоненциальное распределение его характеристики и применение в ТН.

15. Нормальное распределение СВ, график плотности вероятности, влияние величины СКО, вероятность попадания СВ на заданный участок.

16. Логарифмическое нормальное распределение, его характеристики и применение в ТН.

17. «Гамма»-распределение СВ, характеристики распределения, применение в ТН.

18. Распределение Эрланга, характеристики распределения, применение в ТН.

19. «Хи-квадрат» распределение, его характеристики, связь с «гамма» распределением, применение в ТН.

20. Распределение Вейбула и Стьюдента, их характеристики, применение в ТН.

21. Показатели надежности невосстанавливаемых элементов и систем. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа. Частота и интенсивность отказов.

22. Показатели надежности восстанавливаемых элементов и систем. Параметр потока отказов, среднее время наработки на отказ.

23. Модели и графики надежности работы СЭС. Периоды работы СЭС и их характеристика по количеству и причинам отказов.

24. Показатели восстанавливаемости элементов СЭС при однократном и многократном обслуживании.

25. Коэффициент эффективности профилактики, коэффициент эксплуатационного совершенства элементов и систем, их определение.

26. Интенсивность восстановления элементов и систем, среднее время восстановления, коэффициент готовности, их определение.

27. Рациональная периодичность профилактического обслуживания генераторов и трансформаторов СЭС. Вид графа переходов системы в различные состояния.

28. Модель надежности СЭС при последовательном соединении элементов с восстановлением и профилактикой.

29. Модель надежности СЭС при резервировании элементов с восстановлением и профилактикой.

30. Эффективная периодичность профилактического обслуживания синхронных генераторов и воздушных выключателей.

31. Эффективная периодичность профилактического обслуживания силовых трансформаторов СЭС.

32. Методы определения величины ущерба от отказов и перерывов электроснабжения.

33. Расчет надежности последовательно-параллельных структур, учет степени резервирования элементов.

34. Основные определения теории множеств и их применение в теории надежности.

35. Основные правила алгебры логики и их применение в теории надежности. Формы записи логических функций.

36. Логико-вероятностный метод расчета надежности. Применение метода разрезания по логическим переменным.

37. Схемно-логический метод расчета надежности, порядок преобразования сложных структур.

38. Табличный метод расчета надежности, его применение для расчета надежности сложных структур.

Методические указания по выполнению контрольной работы

Вариант задания определяется по соответствию последних цифр варианта задачи и шифра студента. Условия решаемых задач должны быть переписаны полностью. В процессе решения задач необходимо сначала приводить расчетные формулы, затем подставить числовые значения и указывать все промежуточные результаты вычислений. Ход решения следует сопровождать краткими пояснениями. Необходимо указывать размерность заданных в условиях задач и найденных в результате их решения величин. Контрольная работа выполняется на листах формата А4 или в обычных школьных тетрадях.

Дата добавления: 2015-04-30