Геометрическое определение вероятности

Пусть производится испытание, состоящее в бросании на удачу точки на некоторую область пространства . Все точки области «равноправны» в отношении попадания в нее брошенной случайно точки. Требуется определить вероятность события , состоящего в попадании точки на некоторую область .

Геометрическое определение вероятности. Геометрической вероятностью события называются отношения меры области , благоприятствующей появлению события , к мере области

.

Точное определение меры множества приведено в приложении II. Здесь мы отметим, что в одномерном случае мера отрезка равна его длине, в двумерном случае, мера фигуры равна ее площади, в трехмерном пространстве мера тела равна его объему.

Пример 1. На участке между двумя пунктами, расположенными соответственно на 40-м и 70-м километрах телефонной линии, произошел обрыв провода. Определить вероятность того, что обрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии. Предполагается, что вероятность обрыва провода на любом отрезке телефонной линии между рассматриваемыми пунктами пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения на линии.

Решение. Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности. Обозначим через событие, состоящее в том, что обрыв произошел между 50-м и 55-м километрами телефонной линии. Так как мера равна длине участка, на котором произошел обрыв, т.е , а мера равна длине телефонной линии между рассматриваемыми пунктами, т.е. , то на основании геометрического определения вероятности находим

.

Пример 2. Два партнера условились встретиться между 17 и 18 часами. Причем каждый является на место встречи в любой момент между 17 и 18 часами, ждет другого в течении 30 мин и уходит, если встреча не состоялась. Найти вероятность того, что назначенная встреча состоится.

Решение. Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности.

y B K C g G N L О М D x Рис.1.

В прямоугольной системе координат возьмем за начало отсчета 17ч, а за единицу масштаба 1ч. Пусть первый партнер явился на место встречи в момент , а второй в момент . По условию задачи значения и изменяются в пределах , . Этим неравенствам удовлетворяют точки области

, которая представляет собой квадрат , со стороной равной 1, поэтому

(ед. мас.)².

Событие – встреча двух партнеров состоится, если модуль разности между и не превзойдет 0,5 часа, т.е.

,

откуда

.

С геометрической точки зрения, решением последнего неравенства являются точки, лежащие внутри заштрихованной полосы (рис 1). Найдем площадь области

.

Поэтому вероятность встречи двух партнеров определяется по формуле

.

Дата добавления: 2015-04-30