В Интервальная оценка 1 страница

При интервальной оценке определяется доверительный интервал, который накрывает истинное значение измеряемой величины (истинное значение оказывается внутри этого интервала) с заданной доверительной вероятностью p_Д , (1.13)

где J (p_Д) = 2e - доверительный интервал;

()- доверительные границы.

7 Оценка доверительного интервала математического ожидания :

а) при нормальном законе распределения погрешностей

, (1.14)

где t = f (p_Д) - коэффициент стандартного нормального закона распределения находится по таблице функций Лапласа (Таблица П1.shs)

, (1.15)

Ф(t) = 0,5p_Д.

б) при распределении Стьюдента

, (1.16)

где t_p = f(q; k) - коэффициент Стьюдента находится по таблице распределения Стьюдента (Таблица П4.shs).

При оценке доверительного интервала случайной погрешности по формулам(1.14) и (1.16) необходимо знать закон распределения случайных результатов. Приближенно это можно сделать по формуле Петерса

(1.17)

если

, (1.18)

то опытное распределение считается нормальным. В противном случае пользуются распределением Стьюдента.

В практике измерений доверительную вероятность при оценке доверительного интервала принимают равной p_Д = 0.95.

8 Оценка доверительного интервала с. к. о.

(1.19)

где

(1.20)

c²_В = f (k; q_В); c²_Н = f (k; q_Н); q_В = 1– p_В; q_Н = 1– p_Н; p_В = (1 + p_Д)/2;

p_Н = (1 – p_Д)/2;

k = (n –1) – число степеней свободы ряда результатов измерений.

Значения c² находят по таблице распределения Пирсона , а доверительная вероятность берётся равной 0.9 (Таблица П2.shs).

9 Записываются результаты измерения

, при p_Д = 0,95,

при p_Д = 0,9.

При расчёте погрешностей необходимо пользоваться следующими правилами округления:

1)погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2; и одной - если первая цифра равна 3 и более;

2)результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности;

3)округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним - двумя лишними знаками.

1.2 Варианты заданий к разделу 1.1 (результаты измерений исправлены)

1 Результаты измерения тока амперметром (А):

0.111; 0.085; 0.091; 0.101; 0.109; 0.086; 0.102; 0.111; 0.098; 0.085; 0.105; 0.112; 0.098; 0.113; 0.087; 0.109; 0.115; 0.099;0.099; 0.094;0.105

2 Результаты измерения напряжения вольтметром (В):

1.07; 0.99; 1.25; 0.89; 1.04; 1.13; 0.96; 1.03; 1.45; 1.04;1.05; 0.88; 1.03; 0.97; 1.15; 1.09; 0.89; 1.08; 1.07; 0.97

3 Результаты измерения длины детали (мм):

10.6; 9.6; 10.9; 11.6; 10.9; 11.7; 10.8; 10.9; 11.7; 10.3;12.7; 11.9; 11.8; 12.5; 10.5; 11.6; 10.1; 11.3; 10.7; 10.5

4 Результаты измерения диаметра детали (мм):

12.205; 12.208; 12.212; 12.209; 12.204; 12.206; 12.209; 12.210;12.203; 12.208; 12.206; 12.213; 12.205; 12.207; 12.208; 12.209;12.208; 12.207; 12.209

5 Результаты измерения среднего диаметра резьбового калибра (мм):

8.911; 8.913; 8.915; 8.917; 8.919; 8.921; 8.923; 8.927; 8.925;8.923; 8.921; 8.919; 8.917; 8.915; 8.913; 8.925

6 В результате измерений получена следующая совокупность:

20.15; 20.20; 20.23; 20.26; 20.17; 20.21; 20.25; 20.27; 20.19;20.21; 20.25; 20.28; 20.19; 20.23; 20.25; 20.30; 20.20; 20.23;20.26

7 Измерение температуры объекта дало результаты (⁰C):

119; 107; 111; 112; 129; 113; 106; 104; 106; 98.0; 123; 108; 93.0; 105; 106; 139; 108; 107; 93.0; 117

8 Рассчитать характеристики погрешности следующего ряда:

20.42; 20.43; 20.40; 20.43; 20.42; 20.43; 20.39; 20.30;20.40;20.43; 20.42; 20.41; 20.39; 20.39; 20.40

9 Результаты измерения объемного расхода жидкости (м³/с):

10.7; 11.8; 9.9; 10.8; 11.9; 10.8; 10.1; 10.9; 12.8; 12.7; 12.1;11.8; 12.2; 11.6; 12.4; 12.5; 11.4; 12.6; 13.1; 14.3; 11.9; 11.3;12.5

10 Результаты измерения длины металлического стержня (мм):

358.52; 358.51; 358.49; 358.48; 358.46; 358.45; 358.42; 358.59; 358.55; 358.53

11 Результаты измерения длины детали (см):

18.305; 18.306; 18.309; 18.308; 18.306; 18.309; 18.313; 18.308; 18.312; 18.310; 18.305; 18.307; 18.309; 18.303; 18.307; 18.309; 18.304; 18.308; 18.308; 18.310

12 Результаты измерения индуктивности (Гн):

10.13; 10.12; 10.08; 10.07; 10.40; 10.20; 10.17; 10.16; 10.15

13 Результаты измерения напряжения милливольтметром (мВ):

31.56; 31.82; 31.73; 31.68; 31.49; 31.73; 31.74; 31.72

14 Результаты измерения ёмкости конденсатора (мкФ):

2.151; 2.132; 2.113; 2.165; 2.144; 2.157; 2.150; 2.148; 2.135; 2.145; 2.139

15 Результаты измерения уровня жидкости (м):

7.15; 7.19; 7.27; 7.18; 7.13; 7.14; 7.21; 7.11; 7.17; 7.20; 7.16

16 Измерение объёма жидкости дало результаты (м³):

3.05; 3.121; 3.172; 3.009; 3.117; 3.120; 3.140; 3.150; 3.161; 3.092; 3.112

17 Обработать следующий ряд результатов измерений:

1.112; 1.007; 1.117; 1.210; 1.021; 1.110; 1.112; 1.092; 1.104; 1.075; 1.107

18 Результаты измерения расстояния между двумя пунктами (км):

9.150; 9.290; 9.370; 9.272; 9.197; 9.159; 9.162; 9.251; 9.302; 9.501; 9.117

19 Результаты измерения проводимости материала (сименс):

4.720; 4.851; 4.757; 4.804; 4.791; 4.651; 4.712; 4.751; 4.792; 4.698; 4.582

20 Результаты измерения сопротивления резистора (кОм):

8.821; 8.795; 7.695; 8.751; 8.821; 8.797; 8.781; 8.807; 8.789; 8.731; 8.605

21 Результаты измерения уровня жидкости в резервуаре (м):

6.125; 6.178; 6.131; 6.271; 6.251; 6.171; 6.373; 6.291; 6.222; 6.198; 6.201

22 При измерении массы вещества получены следующие результаты (кг):

4.480; 4.521; 4.617; 4.555; 4.498; 4.432; 4.510; 4.518; 4.612; 4.595; 4.606; 4.189; 4.805

23 При поверке рабочего манометра получены следующие результаты измерения давления (МПа):

36.28; 36.59; 36.30; 36.12; 38.21; 35.96; 35.85; 35.98; 36.01; 35.97; 36.05; 36.13; 36.02; 35.87; 33.89; 36.04

24 Многократные измерения сопротивления терморезистора (Ом):

459.6; 460.2; 463.1; 460.8; 457.0; 458.5; 459.8; 445.7; 461.2; 460.7; 458.8; 458.4; 449.6; 458.9

25 Результаты измерения влажности воздуха (%):

78.64; 78.04; 79.12; 80.56; 78.97; 79.02; 78.54; 78.91; 79.48; 78.00; 78.09; 72.18; 79.02; 78.13; 79.04

26 Результаты измерения массы алмаза (караты):

1.956; 1.978; 1.975; 1.967; 1.985; 1.977; 1.972; 1.969; 1.978; 1.982; 1.985; 1.991; 1.976

27 При калибровке резервуара получены следующие данные (м³):

65.45; 65.54; 62.48; 65.47; 65.52; 65.53; 65.49; 65.52; 65.61; 65.58; 65.49; 65.50; 65.47; 63.08; 65.55; 65.59

28 Результаты измерения диаметра резервуара (м):

5.0678; 5.0669; 5.0638; 5.0645; 5.0642; 5.0655; 5.0645; 5.0652; 5.0657; 5.0644; 5.0648; 5.0651; 5.0653; 5.0612; 5.0661; 5.0601

Примечания: 1) обработку результатов измерений необходимо провести с учётом свойств математического ожидания M(x) и дисперсии D(x) /1/;

2) номер варианта задания соответствует порядковому номеру фамилии студента в списке группы по зачётной ведомости.

1.3 Свойства математического ожидания и дисперсии

Математическое ожидание случайной величины q – это среднее значение, вокруг которого группируются все результаты измерения.

Дисперсией случайной величины q называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от её математического ожидания

В связи с тем, что единица дисперсии (единица ФВ возведённая в квадрат) неудобна для применения, на практике при точечной оценке случайной величины используется среднее квадратическое отклонение (с. к. о.)

1 Если все значения случайной величины q, не меняя их вероятности уменьшить (увеличить) на некоторое число a, то:

а) математическое ожидание уменьшится (увеличится) на это же число

б) дисперсия не изменится

2 Если все значения случайной величины q, не меняя их вероятности, умножить на некоторый множитель b (> 1 или < 1), то:

а) математическое ожидание умножится на этот же множитель

б) дисперсия D (q) умножится на квадрат этого множителя

3 а) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

б) дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых

4 а) математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей

б) дисперсия постоянной величины a равна 0

Пример:

При измерении случайной величины q с математическим ожиданием и дисперсией получен следующий исправленный ряд результатов

.

Каждый результат уменьшается на одно и то же постоянное число a и умножается на один и тот же постоянный множитель b. Получается случайная величина

для другого ряда результатов

По формулам раздела 1.1 находится математическое ожидание и дисперсия второго ряда.

Исходя из первого и второго свойств математического ожидания и дисперсии, определяются и для исходного ряда результатов измерений:

а) ;

б)

Величины a и b выбираются исходя из максимального уменьшения разрядов чисел первого ряда для получения второго ряда с целью упрощения вычислений.

1.4 Обработка результатов прямых неравноточных измерений

Результаты прямых неравноточных измерений получаются при повторных многократных измерениях одного и того же истинного значения измеряемой ФВ, разными наблюдателями, разными СИ, в разное время. При этом получается несколько серий таких результатов.

Проводится точечная оценка результатов серий:

Записываются результаты их точечной оценки:

После точечной оценки неравноточные измерения приводят к результатам

Для оценки наиболее вероятного значения ФВ по результатам неравноточных измерений вводится понятие “вес” для каждой серии результатов измерений в общей их совокупности, т. е. проводится оценка степени их доверия для получения значения измеряемой ФВ, наиболее близкого к истинному.

Таким образом, понятие “вес” отражает степень доверия к результату измерения. Чем больше степень доверия, тем больше число, выражающее этот “вес”.

Среднее взвешенное значение измеряемой ФВ, наиболее близкое к истинному её значению , определяется по формуле

(1.23)

где - средние значения для отдельных серий результатов, полученных тем или иным способом;

- “веса” соответствующих серий результатов.

“Веса” серий результатов можно определить следующими способами:

а) при известных и каждой серии результатов по формуле

(1.24)

б) при неизвестных

(1.25)

в) при (одинаковые в каждой серии результатов)

. (1.26)

Среднее квадратическое отклонение среднего взвешенного вычисляется по формуле

(1.27)

Окончательный результат записывается в виде

, при p_Д =,

где - абсолютная погрешность (доверительный интервал) среднего взвешенного .

Доверительный интервал определяется таким же образом, как и при равноточных измерениях (см. раздел 1.1):

- при нормальном законе распределения,

где t находится по таблице функций Лапласа ;

- при распределении Стьюдента,

где находится по таблице Стьюдента

.

2 Методика обработки косвенных видов измерений

При косвенных видах измерений значение искомой величины Y получают на основании прямых видов измерений величин , связанных с измеряемой известной функциональной зависимостью

, (2.1)

где - подлежащие прямым измерениям аргументы функции искомой величины Y.

2.1 Общий случай

В уравнениях связи аргументы представлены в виде результатов многократных прямых видов измерений

………………….;

(2.2)

………………….;

где - число результатов прямых видов измерений аргументов ;

- число аргументов в уравнении связи (2.1).

Исходя из уравнений связи (2.1) необходимо найти искомый результат Y.

1 На основании формул (1.5) и (1.8) раздела 1.1 проводится точечная оценка каждого аргумента, т. е. находятся значения и . Точечная оценка приводит к результатам

(2.3)

2 Исходя из уравнения связи (2.1) оценивается искомый результат

. (2.4)

3 Оценка дисперсии искомого результата

, (2.5)

где - частная производная аргумента , которая называется коэффициентом влияния.

Следует отметить, что при - такие коэффициенты влияния не учитываются.

Произведения частных производных уравнения связи на с. к. о. результатов измерения соответствующих аргументов называются частными погрешностями косвенного измерения

. (2.6)

Оценка коэффициента корреляции между каждой парой аргументов определяется по формуле

, (2.7)

где - наименьшее из чисел наблюдений n_k и n_l соответственно аргументов и .

Коэффициент корреляции определяет степень связи между случайными величинами. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале .

Коэффициент корреляции тогда и только тогда, когда между результатами наблюдений и существует линейная функциональная зависимость (погрешности измеряемых ФВ являются зависимыми).

Если , то погрешности измерения аргументов и некоррелированы (погрешности измеряемых ФВ являются независимыми). В этом случае формула (2.5) примет вид

. (2.8)

Формула (2.8) обычно справедлива, когда рассматриваемые аргументы и измеряют в разное время и для их измерения применяют разные по устройству средства измерений.

Корреляция между погрешностями аргументов чаще всего возникает в тех случаях, когда измерения выполняются одновременно и изменения влияющих величин (температуры воздуха, напряжения питания и т.п.), хотя и допустимые сами по себе, оказывают некоторое влияние на результаты наблюдений.

Критерием отсутствия корреляции между рассматриваемой парой аргументов и является выполнение неравенства

< , (2.9)

где ; (2.10)

- коэффициент Стьюдента находится по табл. П-4;

- уровень значимости;

- принятая доверительная вероятность.

4 Оценка погрешности искомого результата:

а) Если число результатов, выполненных при измерении всех аргументов, превышает 25 – 30, то

(2.11)

где t = f (р_Д) - коэффициент стандартного нормального распределения находится по таблице П.1 функции Лапласа.

б) При меньшем числе наблюдений пользуются распределением Стьюдента (см. табл. П-4)

(2.12)

где t_p=f(q; k_эф) - коэффициент Стьюдента.

Эффективное число степеней свободы k_эф определяется по формуле

(2.13)

где n_j – число результатов прямых измерений аргумента _.

При равном числе наблюдений всех аргументов, т.е. при n₁= …= n_m= n

(2.14)

Эффективное число степеней свободы обычно получается дробным, поэтому для отыскания величины t_p данные табл. П-4 приходиться интерполировать.

Окончательный результат записывается в виде

, при . (2.15)

2.2 Частный случай

В уравнениях связи (2.1) значения аргументов заданы в виде

….; (2.16)

т. е. заданы своими доверительными интервалами

, (2.17)

где - коэффициент аргумента , зависящий от принятого закона распределения результатов измерения этого аргумента и принятой доверительной вероятности .

При отсутствии корреляционной зависимости между погрешностями измерений аргументов (коэффициент корреляции ) и при одинаковой доверительной вероятности всех аргументов () уравнения связи (2.1), оценка погрешности искомого результата будет иметь вид

. (2.18)

Формула (2.17) получена из равенства (2.8) путём умножения левой и правой частей его на коэффициент . Окончательный результат записывается аналогично (2.15).

2.3 Критерии ничтожных частных погрешностей

Оценка дисперсии косвенного результата измерения (2.8), с учётом частных погрешностей (2.6), может быть выражена через частные погрешности

. (2.19)

В соответствии с ГОСТом 8.011-72 “Показатели точности измерения и формы представления результатов измерения” погрешность результата округляется до одной, двух значащих цифр. Это соответствует 5% изменения погрешности результата. Следовательно, изменение левой части выражения (2.19) на 5% (0,05) не повлияет на округлённое значение , т. е. при округлении справедливо равенство

Дата добавления: 2015-04-30