ОМСК, 2006 2 страница

Геометрический вид кривой определяет экспоненциальная структура уравнения и частично параметр λ. Параметр h₀, с геометрической точки зрения является асимптотой и с хорошей степенью точности может быть принят из графика. Из графика (рис. 3.3) определяем h₀ = 0,64.

Для определения λ воспользуются методом выбранных точек (рис.3.3). Выбираем пять точек; точки следует выбирать на участке с наибольшей кривизной.

В соответствии с принципом Лежандра [10] число точек должно быть больше числа разыскиваемых неизвестных. Это необходимо для уточнение вычисленных значений параметров.

Первый вариант нахождения параметров уравнения.

Запишем в общем виде для выбранных на графике точек (рис. 3.3) уравнения (3.10):

(3.11)

Определим λ из двух соседних уравнений (3.11):

(3.12)

После преобразования получим

(3.13)

Обозначим x₁ = - λ t₁; x₂ = - λ t₂ и подставим в уравнение (3.14):

(3.14)

Приближенное решение уравнения (3.14) можно получить, разложив в ряд и взяв два значащих члена:

(3.15)

После подстановок и преобразований получим

(3.16)

Данное решение является весьма приближенным, и наилучшее приближение имеет место на начальном участке кривой.

Данные расчета λ_i по формуле (3.16) приведенные в таблице 3.2.

Таблица 3.2

№№ точек	ti	hi	λi	Проверочный расчет по уравнению	Разность вычисленных и измерен. значений	%
ti 2,42			hi
	0,125	0,23	3,4	0,3025	0,7389	0,2611	0,167	-0,063	27,4
	0,25	0,33	0,605	0,5461	0,4539	0,290	-0,04	12,1
	0,125	0,23	2,39	-	-	-	-	-	-
	0,5	0,43	1,21	0,2982	0,7018	0,449	+0,019	4,4
	0,125	0,23	1,45	-	-	-	-	-	-
	1,0	0,55	2,42	0,0889	0,9111	0,583	+0,033	6,0
	0,125	0,23	0,127	-	-	-	-	-	-
	2,5	0,62	6,05	0,0023	0,9977	0,638	+10,018	2,9

Как видно из табл. 3.2 значения λ_i увеличиваются при приближении точек к началу координат. Это следует из математической сущности разложения в ряд. Аппроксимирующая кривая а (рис. 3.3) построена по уравнению (3.10) при h₀ = 0,64, λ_i = 3,4. Она прошла выше экспериментальной. При h₀ = 0,64, λ_i = 1,45 кривая с (рис. 3.3) прошла ниже экспериментальной. Отбросим значения λ_i = 0,127, как явно выпадающее из ряда других, и определим среднее арифметическое

(3.17)

При λ = 2,42 имеет место наилучшее приближение к результатам эксперимента (рис 3.3, показанного крестиками). Аппроксимирующее уравнение будет иметь вид

(3.18)

Первая производная

(3.18)

В табл. 3.2 приведены результаты контрольного расчета значений по уравнению (3.18). Как видно из сравнения вычисленных и измеренных значений, наблюдаются существенное несовпадение, особенно на начальном участке кривой.

Алгоритм аппроксимации для вышеприведенного примера будет содержать следующие приемы:

1. По результатам эксперимента строится кривая и осуществляется ее геометрическое аппроксимирование (проводится линия, наилучшим образом соединяющая точки).

2. Определяется асимптота h_o из графика. Можно h_o вычислить решением любого уравнения (3.11), но после определения и усреднения λ.

3. Выбираются точки, не менее четырех, таким образом, чтобы большинство их были на участке с наибольшей кривизной. Составляется таблица значений t_i и h_i.

4. Вычисляются значения λ_i для различных пар точек по уравнению (3.16) и заносятся в табл. 3.2.

5. Резко отличные значения λ_i отбрасываются, по остальным вычисляется среднеарифметическое.

(3.19)

6 Для проверки или определения h_o, если это необходимо, можно воспользоваться уравнением

(3.20)

Второй вариант расчетов

Первый вариант аппроксимации показал, что для повышения точности аппроксимирования в первую очередь наиболее важно определить величину h_o – координату горизонтальной асимптоты. К сожалению, соответствующий раздел математически разработан очень слабо.

Асимптоту можно с достаточной точностью определить из графика (рис. 3.3). В этом случае уравнение (3.10) можно преобразовать следующим образом:

откуда

(3.21)

В табл. 3.3 приведены результаты расчета h_i и λ_i по уравнению (3.21) и проверочные вычисления.

Таблица 3.3

№№ точек	ti	hi		λi	Проверка
2,4 ti		hi расч	Разность Значений изм. и расч.
	0,125	0,23	-0,4447	3,55	0,3	0,7408	0,165	-0,065
	0,25	0,33	-0,7236	2,89	0,6	0,5488	0,288	-0,042
	0,5	0,43	-1,1147	2,23	1,2	0,3011	0,447	+0,017
		0,55	-1,9589	1,95	2,4	0,0907	0,582	+0,032
	2,5	0,62	-3,4420	1,37	6,0	0,0024	0,638	+0,018

Как видно из приведенных данных, результаты получились близкими полученными по первому варианту и практически с таким же несовпадением с измеренными значениями.

Третий вариант

К нему необходимо прибегнуть, если не устраивает точность аппроксимации по первым двум вариантам. Попробуем повысить точность аппроксимации, усложним уравнение (3.10) с помощью распределения Вейбулла – Гнеденко [4]:

(3.22)

Преобразуем уравнение (3.22) к виду

(3.23)

Поделим уравнения двух соседних точек друг на друга, прологарифмируем еще раз

(3.24)

отсюда

(3.25)

По формуле (3.25) произведен расчет α_i и α_ср кривой (рис.3 3) при h_o = 0,64, результаты приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

№№ точек	ti	hi						αi
	0,125	0,23	-0,4447
	0,25	0,33	-0,7236	2,0	0,30103	1,6272	0,2114	0,702
	0,5	0,43	-1,1147	2,0	0,30103	1,5405	0,1876	0,623
		0,55	-1,9589	2,0	0,30103	1,7573	0,2448	0,813
	2,5	0,62	-3,4420	2,5	0,39794	1,7571	0,2447	0,615

Из уравнения (3.23) следует, что

(3.26)

В тбл.3.5 приведен расчет μ_i по формуле (3.26).

Таблица 3.5

№№ точек	ti	hi			μi	Проверка
1,87 ti^0,69	hi	Разность Значений изм. и расч.
	0,125	0,23	-0,4447	0,2381	3,55	0,4452	0,230
	0,25	0,33	-0,7236	0,3842	2,89	0,7184	0,328	0,002
	0,5	0,43	-1,1147	0,6198	2,23	1,1590	0,4391	0,009
		0,55	-1,9589	1,0	1,95	1,87	0,5413	0,0087
	2,5	0,62	-3,4420	1,8818	1,37	3,5189	0,6210	0,001

Искомое уравнение:

Как видно из данных (табл. 3.5), несовпадения результатов измерения и расчета по уравнению не превышает 2%, что позволяет считать точность аппроксимации очень высокой.

3.3 Аппроксимация кривой интенсивности отказов.

Рассмотрим еще одну разновидность кривой старения. На рис. 3.4 приведена экспериментальная кривая интенсивности отказов распределения Вейбулла – Гнеденко.

Как известно, структура формулы будет иметь вид

(3.27)

причем предварительно можно указать, что 0 < α <1.

Для аппроксимации воспользуемся методом выравнивания. Для этого нанесем экспериментальные данные на двойную логарифмическую сетку (рис. 3.5). Видно, что точки расположились на прямой лини. В этом состоит и сущность выравнивания, т.е. замены сложной кривой более простой прямой линий.

Прологарифмируем уравнение (3.27):

(3.28)

Уравнение (3.22) является уравнением прямой линии, не проходящей через начало координат. Выражение в скобках является угловым коэффициентом. Следовательно, измерения углов β (рис.3.5) получим

Рис. 3.4. Пример аппроксимации кривой интенсивности отказа.

Рис. 3.5. Аппроксимация кривой интенсивности отказов

методом выравнивания.

(3.29)

откуда α = 0,3506.

Получим этот же результат методов выбранных точек (рис.3.4). Для этих точек уравнение (3.27) запишется следующей системой уравнений:

(3.30)

Из любых двух уравнений системы (3.30) следует, что

(3.31)

Данные вычисления α по уравнению (3.31) приведены в табл. 3.6.

Таблица 3.6

№№ точек
1; 2	1,285	0,1099	0,65	-0,1871	0,413
2; 3	1,59	0,2014	0,5	-0,3010	0,331
3; 4	1,57	0,1959	0,615	-0,2111	0,073
4; 5	2,045	0,3096	0,325	-0,4881	0,366

Воспользовавшись уже известной рекомендацией об отбрасывании выпадающего значения, определим среднее значение α.

α_ср = 0,370 (3.32)

Разность с полученными значениями α составляет меньше 1⁰ т.е. находится в пределах точности измерения угла на графике (рис. 3.5).

Значение μ можно вычислить по уравнению.

(3.33)

По данным (рис. 3.4 и табл. 3.6) значение μ вычислены по формуле (3.33) и приведены в табл. 3.7.

Таблица 3.7

№№ точек
μ	0,3060	0,3122	0,3037	0,2624

Отбросив значения 0,2624 и, вычислив среднеарифметическое, получим

μ_ср = 0,3073 (3.34)

При использовании метода выравнивания удобно выбрать точки А и Б (рис. 3.5), для которых уравнение (3.28) записывается в виде

(3.35)

Сложив оба уравнения, легко можно выразить μ.

(3.36)

Как видно из приведенного выше примера, метод выравнивания значительно точнее и менее трудоемок. Необходимо отменить, что не всегда удается линеаризовать аппроксимируемое уравнение или экспериментальную кривую. Разыскиваемое в приводимом примере уравнение будет иметь вид

.

3.4 Аппроксимация методом наименьших квадратов.

Для изучения сущности метода наименьших квадратов рассмотрим один простейший пример аппроксимирования.

Экспериментальная зависимость старения простейшего вида (рис 3.6) имеет вид S(t) = k∙t (3.37)

Рис. 3.6. Пример аппроксимации методом наименьших квадратов.

Угловой коэффициент K определяется элементарно:

(3.38)

В формуле (3.38) m_s, m_t – масштабные коэффициенты необходимо тогда, года по осям S и t используются разномасштабные шкалы.

Следовательно, уравнения прямой (рис. 3.6) будет иметь вид

(3.39)

Теперь определим значения параметра К из условия минимума суммы квадратов отклонений аппроксимирующих значений от экспериментальных S_i.

Это формулируется следующим образом:

(3.40)

В связи с тем, что искомый параметр один, нет необходимости в составлении и решении системы уравнений.

Выразим экспериментальную ординату через абсциссу:

S_i = k t_i (3.41)

подставим в уравнение (3.40):

(3.42)

Наложим на условие (3.42) требования, чтобы оно удовлетворяло всем значениям зависимой S и не зависимой K переменных. Второе требование нахождение минимума суммы квадратов – определим дифференцированием уравнение (3.42) по параметру K и нахождению экстремума приравниванием производной к нулю:

(3.43)

Раскрываем выражение в скобках, после преобразований получим

(3.44)

По уравнению (3.44) вычислим параметр

(3.45)

Для вычисления К составим вспомогательную таблицу (рис. 3.8). Подсчитав полученные суммы (табл. 3.8), вычислим

(3.46)

Отклонений значений K от полученного методом выбранной точки

(3.47)

Это составляет примерно 0,5^° – 0,8^°, т.е. находится в пределах точности измерения угла на графике. Поэтому при использовании угломерного инструмента нужно помнить о невысокой точности измерения.

Таблица 3.8

ti	Si
19319 105008

Точнее получится, если выбрать на прямой (рис.3.6) точку M и измерить абсциссу и ординату:

K = 300 / 56 = 5,357 (3.48)

Таким образом, метод наименьших квадратов дает весьма точные результаты, но он весьма трудоемкий.

Современные цифровые вычислительные машины оснащены стандартной программой «метод наименьших квадратов», что существенно облегчает проведение расчетов.

Хорошие результаты, как было показано выше, дают методы выбранных точек и выравнивания, подкрепленные процедурой уточнения вычислительных параметров.

3.5 Аппроксимация кривой с тремя неизвестными параметрами

Рассмотрим еще один пример аппроксимирования кривой работоспособности, когда ее уравнение имеет более сложный вид, соответствующий распределению Вейбулла-Гнеденко с темы неизвестными параметрами: α, μ и h.

Экспериментальную кривую (рис. 3.7) будем аппроксимировать уравнением

(3.49)

Для аппроксимации примем метод выбранных точек. На кривой отмечены точки 1, 2, 3, 4, 5.

Преобразуем уравнение (3.49):

(3.50)

Дважды прологарифмируем уравнение (3.50):

Рис. 3.7. Аппроксимация кривой с тремя неизвестными параметрами.

(3.51)

Для выбранных точек составим избыточную систему уравнений.

(3.52)

Из дух первых уравнений системы (3.52) можно получить следующие соотношения:

(3.53)

где

(3.54)

Из любого уравнения системы (3.52) следует, что

(3.55)

где М = 0,4343 – модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.

В уравнения (3.53) и (3.55) выходит неизвестный параметр h₀, который простыми приемами выделить не удается. Поэтому определим h₀ приближенно из графика (рис. 3.7): h₀ = 50.

Подставляя поочередно в формулу (3.53) значений x_i и y_i на графике, определим величину α. Этот расчет приведен в табл. 3.9. при h₀ = 50.

Таблица 3.9

№№ точек	yi				xi		αi
		-0,0757	3,1254	0,4948		0,6996	0,7072
		-0,2366
		-0,0757	7,6592	0,884			0,884
		-0,5798
		-0, 0757	9,2338	0,9656		1,3010	0,7421
		-0,699
		-0, 0757	18,4663	1,2662		1,699	0,7452
		-1,3979

Вычислим среднюю величину α.

Примем округленное значение α = 0,75 Подобное округление целесообразно, т.к. находится в пределах точности измерений на графике и таблиц экспоненциальных функций.

Значение μ вычисляется по формуле (3.55) при α = 0,75, h₀ = 50 данные расчета приведены в табл. 3.10.

Таблица 3.10

№№ точек	yi		xi		μi
		-0,0757		5,37	0,03099
		-0,2366		17,38	0,02897
		-0,5790		28,84	0,03059
		-0,699		93,73	0,01724

Для расчета примем первые три значения:

Для проверки по уравнению (3.49) вычислим ряд значений y (x) при: h₀ = 50 α = 0,75; μ = 0,03 (табл. 3.11).

Таблица 3.11

xi
yi(xi)	7,815	20,86	30,665	39,905	47,96

Сравнение данных табл. 3.9 – 3.11 говорит о хорошем совпадение результатов. Недостаток этого приема в том, что h₀ определено визуально из графика и в дальнейшем уточнялось.

3.6. Обработка и аппроксимация статистико-вероятностной информации о надежности и работоспособности.

При сборе альтернативной статической информации возможными являются два состояния изделия [6, 8]:

работоспособное – обозначается единицей;

состояние отказа – обозначается нулем.

Тогда организацию испытаний можно осуществлять следующим образом.

Во – первых, определить количество изделий N, которое необходимо поставить на испытание [2, 4, 5, 9].

Во – вторых, выбрать интервал времени ∆t, определяющий периодичность сбора информации.

Дата добавления: 2015-04-30