ОМСК, 2006 3 страница

В – третьих, совершенно точно определить, какое состояние изделия будет приниматься за работоспособное, а какое - за отказ. При проведении испытания условия и режим работы изделие должно быть эквивалентным эксплуатационным.

При указанных выше условиях эмпирическая интенсивность отказов может быть определена по следующей формуле [4]:

(3.56)

где ∆t – величина выбранного временного интервала; ∆n – число отказов, попавших в данный интервал; n(t) – функция отказов, выражающая число элементов, не отказывающих к моменту времени дельта ∆t_i.

Формула (3.56) дает наиболее точный результат при ∆t стремящейся к нулю и N стремящейся к нулю. Это означает, что по возможности необходимо ∆t принять наибольшим, а N большим.

n(t) _∆ti = N - ∆n₁ - ∆n₂ - … - ∆n_i-1 (3.57)

N – число изделий, поставленных на испытание; ∆n₁; ∆n₂ – число элементов, отказавших на интервалах ∆t₁ и ∆t₂.

Рассмотрим вычисления λ_N(t) на примере. На испытание поставлено N = 100 элементов, принять интервал ∆t = 5 ч. Испытания показали следующие результаты (табл. 3.12, гр. 1-4).

В гр. 5 приведены результаты вычисления эмпирической интенсивности отказов λ_N(t). Эти данные приведены в виде ступенчатой линии (рис. 3.8).

Средние значения эмпирической интенсивности отказов λ_N = 0,0225.

В гр. 6 вычислена эмпирическая вероятность безотказной работы по частоте событий [13]. В гр.7 та же вероятность вычислена по среднему значению интенсивности отказов, взятому из гр.4.

Анализ данных (табл.3.12) показывает, что параметры, определенные с помощью экспериментальных данных по приближенным формулам, хорошо совпадают с теоретическими (гр.6 и 7).

Таблица 3.12

№№ точек	Время с начала испытаний, ti, ч	Число отказов, попавших в интервал, ∆ni	n(ti)			λN = 0,0225
	0 – 5			0,024	1,00	1,00
	5 – 10			0,020	0,88	0,89
	10 – 15			0,022	0,79	0,80
	15 – 20			0,023	0,70	0,71
	20 – 25			0,022	0,62	0,63
	25 – 30			0,021	0,55	0,57
	30 – 35			0,024	0,49	0,50
	35 – 40			0,023	0,43	0,45
	40 – 45			0,021	0,38	0,40
	45 – 50			0,023	0,34	0,36
	50 – 55			0,020	0,30	0,32
	55 – 60			0,022	0,27	0,29

Рис. 3.8 Обработка и аппроксимирование статистико-вероятностных данных по интенсивности отказов.

Аналогичным приемом можно построить гистограмму (график) плотности вероятностей. Выноска каждой ступеньки на графике определяется по формуле [4, 8, 13]

(3.59)

где – значение эмпирической функции на i_–oм интервале; – число отказов, попавших в i_–ый интервал; – величина интервала; N – число изделий, поставленных на испытание.

Также вычисляется и эмпирическая функция надежности

(3.59)

Здесь P_N(t_i) – эмпирическая вероятность безотказной работы технического устройства; N – число элементов, поставленных на испытание; n(t_i) – функция отказов, численно равная количеству изделий, не отказавших к моменту t_i. В начальный момент испытаний n(t) = N и с каждым отказом уменьшается на единицу.

Дальнейшее аппроксимирование ступенчатых гистограмм осуществляется выше изложенными способами. Это делается в тех случаях, когда кривая имеет нелинейный вид. Ступенчатая линия заменяется плавной кривой, проводимой через середины интервалов. Иногда кривую проводят по краям интервалов с права или слева в зависимости от важности принятых ограничений.

3.7. Аппроксимация усталостной кривой старения. (совместно с А. П. Асуленко)

Для изучения процессов усталостного старения была приведена серия опытов по старению пружинного маятника до выхода его из строя (поломки). Выбор пружинного маятника был обусловлен относительной простотой конструкции и проходящих в нем физических явлений.

Язычок плоского пружинного маятника 1 (рис. 3.9), закрепленного в неподвижной опоре 3, приводился в колебательное движение электромагнитным полем, наводимым специальной электромагнитной системой 2.

Рис. 3.9 Схема роботы пружинного маятника.

Для ускорения процесса разрушения на маятнике у основания наносилась поперечная риска.

В процессе старения маятника по мере накопления повреждений происходило уменьшение амплитуды колебаний от некоторого начального значения А₀ до минимального А_m при котором происходило разрушение – маятник отламывался, притягивался к электромагнитам или падал.

Выполним аппроксимирование одной из кривых (рис 1.6, кривая 4) Данные, необходимые для расчета, приведены в табл.3.13. Аппроксимируемая кривая изображена на рис.3.10.

Таблица 3.13

№№ точек
А, мм				2,3	1,8	1,6	1,5	1,4	1,2
N×10^-4 цикл		0,81	1,6	3,24	6,48	14,6	24,3

Для аппроксимации применяется уравнение вида

(3.60)

где А₀ – начальное значение амплитуду колебаний маятника, мм; А_m – минимальное (асимптотическое) значение амплитуды, мм;

Рис.3.10. Пример аппроксимации кривой 5 (рис.1.6.)

Расчет формул будут иметь вид (п.3.5)

(3.61)

(3.62)

После усреднения α = 0,4396 ≈ 0,44 и μ = 0,02016 ≈ 0,02.

Искомое уравнение старения будет иметь вид

(3.63.)

Уравнение работоспособности:

(3.64.)

Если установлено подобное значение величины амплитуды поведению характеристик прочности, то становится возможным по уравнениям (3.63) и (3.64) решать разнообразные задачи.

4 АППРОКСИМАЦИЯ СЛОЖНЫХ КРИВЫХ С ДВУМЯ УЧАСТКАМИ НАИБОЛЬШЕЙ КРИВИЗНЫ

(при участии Н.З. Волкова)

4.1 Некоторые сведения из теории работоспособности и надежности

Многочисленные экспериментальные исследования процессов старения технических устройств показали, что простейшие кривые, описывающие эти процессы, встречаются не так уж часто. Чаще имеют место сложные кривые (рис.1.2 – 1.5 и др.).

Наиболее общим видом кривой является кривая старения (рис.4.1а). Она имеет две точки перегиба и линейный участок межу ними. Чаще всего такие кривые характеризуют процессы износа, коррозийного и других видов старения элементов машин. Графически первая производная функции старения γ(t) представляет собой скорость старения. В работе [6] подобная кривая названа полной кривой износа. Участками наибольшей кривизны она делится на три участка: начального (приработочного), нормального и катастрофического износа. Показано, что эту кривую и процесс можно моделировать двумя независимыми процессами [6]:

1) процессом приработочного и рабочего (нормального) износа (рис. 4.1б). Его уравнение имеет вид

(4.1)

где h₀₁; α₁; μ₁ – параметры уравнения;

2)процессом неблагоприятного (катастрофического) износа (рис 4.1)

(4.2)

Полагая, что данные процессы независимы, и используя принцип суперпозиций [4], утверждаем, что полная кривая является алгебраической суммой этих двух процессов.

Уравнение полной кривой имеет вид

(4.3)

На рис. 4.1а эти кривые суммированы друг с другом.

Аналогичные рассуждения можно привести и для вероятностных распределений. При исследовании надежностных зависимостей установлено, что в чистом виде отдельные распределения практически не встречаются. Применяются иногда довольно сложные методики “фильтрования” данных эксперимента для выявления информации, представляющей искомый закон.

С учетом одновременного действия двух или нескольких законов распределения становятся возможными анализ и аппроксимация отдельных процессов старения и работоспособности (надежности) технических устройств.

Рис 4.1. Аппроксимация сложной кривой старения с двумя участками наибольшей кривизны.

4.2 Аппроксимация детерминированной полной кривой износа

На рис. 4.2 приведена полная кривая износа. Абсциссой подобных кривых могут служить время t, работа А, путь трения L и ряд других ресурсных измерителей, обозначаемых символом Х.

В общем виде аппроксимирующее уравнение будет иметь вид

(4.4)

Первое слагаемое описывает кривую 0аb. Второе слагаемое начинает оказывать заметное воздействие на y(x) начиная с точки “ a ” и описывается кривой ac (разумеется, суммарно с кривой 0аb).

Значение параметра h₁ относительно просто находится из графика как асимптота кривой 0ab (рис. 4.2) значения остальных параметров определить значительно сложнее.

Рис. 4.2 Аппроксимация полной кривой износа методом выбранных точек.

На участке I функция (4.4) определяет в основном первое слагаемое. Второе слагаемое пренебрежимо мало. Поэтому для участка I функцию (4.4) можно представить в виде

(4.5)

откуда

(4.6)

Прологарифмируем это выражение и решим его относительно m₁.

. (4.7)

Продифференцируем уравнение (4.5) по Х, получим

(4.8)

Представляя значения m₁ и из (4.6)и (4.7) в уравнение (4.3) получим

(4.9)

откуда

(4.10)

Таким образом, параметры a₁ и m₁ выражены через h₁ и значения функции y и её первой производной y ´ на участке I. Значение параметра h₁ можно определить непосредственно по графику. И тогда, используя метод выбранных точек или выравнивания, можно определить параметры a₁ и m₁.

В том случае, когда по графику параметр определить h₁ определить затруднительно, можно воспользоваться следующим приёмом.

Возьмем вторую производную от функции (4.5):

(4.11)

Принимая во внимание соотношения (4.6), (4.7) и (4.10), после преобразования получим

(4.12)

Из уравнения (4.12)

(4.13)

На участке III (рис. 4.2) поведение функции (4.4) определяется в основном вторым слагаемым. Первое слагаемое здесь мало отличается от h₁. Поэтому для этого участка функцию (4.4) можно представить в виде

(4.14)

Проводя рассуждения, аналогичные изложенным выше, получим следующее выражение искомых параметров a₂, m₂ и h₂:

(4.15)

(4.16)

(4.17)

Таким образом, значения параметров функции (4.4) выражены через значения самой функции, первой и второй производных, определенных в двух точках, взятых на графике произвольным образом на участках I и III(рис. 4.2).

Значения производных можно определить посредством графического дифференцирования либо другим известным методом [12]. Простейшим из этих методов является следующий. Выбираются на графике (4.2) три близкие точки х₀, х, х₁. Точки х₀ и х₁ расположены на равном расстоянии h от средней точки х:

x₁ – x = x – x₀ = h.

Величину h необходимо выбирать по возможности малой. Для точек х₀, х, х₁ определяются ординаты у₀, у, у₁. Приближенные значения первой и второй производных определяются по следующим формулам:

y^'(y₁ – y₀)/2h или y^' = (y₁ – y)/h (4.18)

y^’’ = (y₁ – 2y + y₀)/4h² (4.19)

Необходимо отметить, что точность определения параметров по приведённым формулам существенно зависит от точности способов аппроксимирования, от места выбранных точек на графике и от точности определения первой и второй производных. Наиболее точно искомые параметры определяются на участках кривой, имеющих наибольшую кривизну (рис. 4.2).

На основании вышеизложенного рекомендуется следующий алгоритм определения параметров функции надежности или работоспособности.

1. На участке I выбираются точки х₀, х, х_1, х_{2 .}

2. В точке x определяются значения у, у¢, у¢¢.

Если параметр h ₁ можно определить по графику, то у¢¢ можно не определять.

3. Для наиболее точной аппроксимации кривой в первую очередь необходимо определить значение h₁ (h₂), причём при любых значениях a и m кривая должна сходиться при х ® 0, у ® 0, а при х ® ¥, -у ® h. Поэтому h необходимо определить по графику (если это возможно) и проверить расчетом по уравнению (4.13). Сразу отметим большие трудности в достижении высокой точности, возникающие от большого числа приближенно измеренных величин (у_i, x_i,y_i¢, у_i¢¢); этот вопрос будет рассматриваться ниже.

4. По уравнению (4.10) определяется значение a₁.

5. Подставляя полученные значения a₁ и h₁ в уравнение (4.7), определяем величину m_1. Для повышения точности получаемых результатов необходимо производить контрольные вычисления и сверять с экспериментальными данными.

6. Выбираются точки х₀, х и х_1, х₂ на участке 3 кривой (рис. 4.2).

7. Определяются значения у_i,y_i¢, у_i¢¢ в выбранных точках.

8. По уравнениям (4.17) и (4. 23) вычисляется параметр h_1.

9. Подставляя значения h₂ в уравнение (4.16), вычисляем величину a_2.

10. По формуле (4.15) вычисляются значения m₂ проводится контрольное вычисление значений у(х) и сравнение с экспериментом.

Вычисление вручную параметров кривых является трудоёмкой операцией. Применение ЭВМ для обработки результатов делает решение этой задачи достаточно быстрым и простым. Однако, получив явно неверный результат расчета, необходимо отыскать ошибку и повторить вычисление.

Для более осмысленного выбора или расчета величины h₁ и h₂ целесообразно подвергнуть анализу уравнение (4.13). Для удобства запишем его в виде

h₁ = y_i – a_i z_i, (4.20)

где

Отметим два очевидных обстоятельства.

1. Произведение (-а_i z_i) всегда должно быть больше нуля, т.к. у_i всегда меньше h₁ (исключая крайние значения).

2. При изменении соотношений у_i/h₁ (рис. 4.3) в пределах 0 £ у_i/h₁ £ 1 z_i, будет изменяться от ¥ < z_i £ 1. Если соотношение у_i/h₁ находится в пределах 0,5 – 0,7, то в первом приближении

h₁ ≈ y_i + a_i. (4.21)

Рис.4.3. Зависимость z = f(y/n)

Это означает, что

h₁ = y_i + (y_i´)²/(y_i´´ + y_i´/x_i), (4.22)

По аналогии из уравнения (4.17)следует

h₁ = y_i – h₁ + (y_i´)²/(y_i´´ + y_i´/x_i) (4.23)

Следовательно, всем а_i со знаком плюс соответствует z_i со знаком минус, что будет возможно при у_i/h₁ < 0,635, и наоборот. Это соображение сужает область поиска правильного решения. В заключение необходимо отметить, что методы поиска горизонтальных асимптот в математике разработаны совершенно недостаточно и при рассмотрении конкретных примеров нам в этом придется неоднократно убедиться.

4.3 Пример простейшей аппроксимации сложной экспериментальной прямой износа

В простейшем случае для определения параметров уравнений используется только значении функции и аргумента, определенные по графику или протоколу испытаний. Рассмотрим кривую (рис. 4.4)

Если кривую (рис 4.4) попытаться аппроксимировать уравнением (4.1), то не получим хорошего совпадения на линейном участке, наиболее важном для исследования.

Примем аппроксимации уравнение вида

(4.24)

Параметры a и m будем определять по уже известным зависимостям:

(4.25)

(4.26)

В формулах (4.25) и (4.26)

(4.27)

М = 0,4343 – модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Значения h₁ и h₂ для первых примеров определим методом подбора из графиков. Значение асимптоты h₁ = 0,58 (рис. 4.4) при определенном навыке можно выбирать визуально с хорошей степенью приближения. На кривой выбираем семь точек (отмечены цифрами).

Для них составим таблицу значений фиксированных абсцисс и ординат (табл. 4.1 гр. 2 и 3).

Рис. 4.4. Пример аппроксимации сложной кривой износа трансцендентными уравнениями.

Рис. 4.5 Пример аппроксимации сложной кривой износа: а) экспериментальная кривая с нанесенными данными аппроксимации; б) кривая, аппроксимирующая катастрофический износ; в) кривая, аппроксимирующая прибавочный и рабочий износ.

Таблица 4.1

№№ точек	n × 10^-3, об.	hi, мкм	ri	№№ точек	αi, по формуле (4.10)	μi, по формуле (4.26)	Примечание
	2,5	0,14	0,758	1-2	0,775	0,0008	α 1 ср = 0,75   μ 1 ср = 8,2 × × 10^-^4
		0,23	0,603	1-3	0,735	0,00098
		0,31	0,465	1-4	0,725	0,00077
		0,37	0,363	1-5	0,785	0,00073
		0,44	0,240	1-6	1,1	0,00084
		0,57	0,015	2-3	0,605	0,00082
		0,72	-	3-4	0,705	-

Значение a _{1 ср} было подсчитано как среднее арифметическое значение 1, 2, 3, 4, 7. Отброшено самое большое и самое малое значение.

Затем, подставляя в формулу (4.7) значение h ₁ и a _1ср, вычислим значение m_i и среднее из всех вычисленных. По координатам точки 7 вычисления не производились, т.к. h ₀₁ < y ₇, это нереальное соотношение.

Следовательно, первое аппроксимирующее слагаемое будет иметь вид

(4.28)

По формуле (4.28) вычислено контрольное значение функции h ₁ (n) и нанесены на экспериментальный график крестиками (4.4). До точки а полученные значения хорошо совпадают с экспериментальными.

Аналогичным образом можно аппроксимировать и второе слагаемое, составив вторую таблицу. Значение h_2i для точек вычисляется по формуле

h _{2 i} = h_i – h ₁ (n) (4.29)

где h ₁ (n) - значение функции в этой точке, вычисленное по уравнению (4.24).

Очевидно, что до точки a значение h_2i практически будет равно 0.

По аналогичной методике рассчитывается второе слагаемое:

(4.30)

При вычислении a₂ и m₂ совершенно неочевидно положение асимптоты h₂ и поэтому приходится многократно повторять вычисления, задаваясь значениями h₂ или определять её по уравнению (4.23).

На рисунке 4.5 показаны экспериментальная кривая (рис.4.5а)и кривые описывающие первое (рис. 4.5в) и второе слагаемое (рис.4.5 б). На экспериментальную кривую нанесены результаты вычисления по формуле (4.28) и (4.30) (отмечены крестиками):

h(n) = h₁(n) + h₂(n), (4.31)

где h₁(n) и h₂(n) – уравнения (4.28) и (4.30).

Анализ результатов говорит о хорошем совпадение расчетных и экспериментальных данных. Приведенный пример прост по технологии вычисления, но является трудоемким по количеству вычисленных операций, особенно по подбору значений h₀₁ и h₀₂.

4.4 Аппроксимирование экспериментальной кривой с использованием первой второй производной и второй производной

На рис. 4.6 приведена экспериментальная кривая с двумя участками наибольшей кривизны. Графически выполнено дифференцирование и построен график первой производной.

Рис. 4.6. Аппроксимация экспериментальной кривой с помощью первой и второй производной.

Для аппроксимирования воспользуемся методикой (п.4.2)

Напомним, что аппроксимирующим уравнением кривой у = f(x) будет следующее выражение:

(4.32)

Дата добавления: 2015-04-30