Действия над событиями

3.

События и их классификация

Статистическое определение вероятности.

Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности

Определения вероятности события. Свойства вероятности.

Действия над событиями.

События и их классификация.

План темы

При построении любой математической теории, прежде всего, выделяют простейшие понятия, которые принимаются в качестве исходных. Такими основными понятиями в теории вероятностей являются понятие случайного эксперимента, случайного события, вероятности случайного события.

Случайный эксперимент – это процесс регистрации наблюдения за интересующим нас событием, которое осуществляется при условии заданного стационарного (не изменяющегося во времени) реального комплекса условий , включающего в себя неизбежность влияния большого числа случайных (не поддающихся строгому учету и контролю) факторов.

Эти факторы не позволяют делать полностью достоверные выводы о том, произойдет или не произойдет интересующее нас событие. При этом предполагается, что мы имеем принципиальную возможность (хотя бы мысленно реально осуществимую) многократного повторения нашего эксперимента или наблюдения в рамках того же комплекса условий .

Приведем несколько примеров случайных экспериментов.

1. Случайный эксперимент, состоящий в подбрасывании идеально симметричной монеты, включает в себя такие случайные факторы, как сила, с которой брошена монета, траектория полета монеты, начальная скорость, момент вращения и т.д. Эти случайные факторы не дают возможности точно определить исход каждого отдельного испытания: «при бросании монеты появится герб» или «при бросании монеты появится решка».

2. Завод «Стальканат» производит испытание изготовленных тросов на максимально допустимую нагрузку. Нагрузка изменяется в некоторых пределах от одного эксперимента к другому. Это обусловлено такими случайными факторами, как микро дефекты в материале, из которых изготовлены тросы, различные помехи в работе оборудования, происходящие при производстве тросов, условия хранения, режим проведения экспериментов и т.д.

Каждый из рассматриваемых случайных экспериментов можно многократно повторить в одних и тех же условиях. Наличие большого числа случайных факторов, характеризующих условия проведения каждого такого эксперимента, делает невозможным полностью определенного заключения о том, произойдет или не произойдет интересующее нас событие в отдельном испытании. Отметим, что в теории вероятностей такой задачи не ставится.

Определение. Реализация определенного комплекса условий называется испытанием. Результат испытания называется событием.

Обозначаются случайные события заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, … или заглавной буквой с индексом: .

Например, сдача экзамена при осуществлении заданного комплекса условий (экзамен письменный, включающий рейтинговую пятибалльную систему оценки, и т.д.) – это испытание для студента, а получение определенной оценки – это событие. В рассматриваемом случае возможны следующие события:

студент получил оценку пять на экзамене;

студент получил оценку четыре на экзамене;

студент получил оценку три на экзамене;

студент получил оценку два на экзамене.

Классификация событий

События

Достоверные события

Случайные события

Невозможные события

Рассмотрим эти события.

Определение. Событие называется достоверным, если при заданном комплексе условий оно обязательно наступает.

Все достоверные события обозначаются буквой ( первая буква англ. слова universal- всеобщий)

Примерами достоверных событий являются: выигрыш в беспроигрышной лотерее,

Определение. Событие называется невозможным, если при заданном комплексе условий оно наступить не может.

Все невозможные события обозначаются буквой .

Примерами невозможных событий являются: в евклидовой геометрии сумма углов треугольника не может быть больше ,

Определение. Событие называется случайным, если оно может появиться или не появиться при данном комплексе условий.

Примерами случайных событий являются: событие появление туза из колоды карт; событие выигрыш в матче определенной футбольной команды;

Классификация случайных событий

Случайные события

Несовместные (совместные)

Единственно возможные

Равновозможные

Полная группа событий

Противоположные события

Определим каждое из этих событий.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из этих событий исключает появление любого другого в одном и том же испытании.

Примерами несовместных событий являются:

Определение. События называются совместными (совместимыми), если появление одного из этих событий не исключает появления других событий в одном и том же испытании.

Примерами совместных событий являются:

Определение. События называются единственно возможными, если при реализации заданного комплекса условий обязательно должно наступить хотя бы одно из этих событий.

Примерами единственно возможных событий являются:

Определение. Говорят, что события образуют полную группу событий, если эти события единственно возможные и несовместные.

Если события образуют полную группу, то в результате испытания обязательно наступает только одно из этих событий.

Примерами событий, образующих полную группу являются:

Определение. Два события, образующие полную группу, называются противоположными.

Если - некоторое событие, то противоположное ему событие обозначают .

Примерами противоположных событий являются:

Определение. События называются равновероятными или равновозможными, если при проведении испытания все они объективно имеют одинаковую возможность на появление.

Отметим, что равновозможные события могут появляться только в опытах обладающих симметрией исходов, которая обеспечивается специальными методами (например, изготовление абсолютно симметричных монет, игральных костей, тщательная тасовка новой колоды карт, косточек домино, перемешивание одинаковых на ощупь шаров в урне и т.д.).

Примерами равновозможных событий являются:

Определение. Если исходы некоторого испытания единственно возможны, несовместны и равновозможны, то они называются элементарными исходами, случаями или шансами, а само испытание называется схемой случаев или «схемой урн».

Пример. Если в урне 3 белых и 3 черных шара, одинаковых на ощупью, то событие A ₁ – появление белого шара и событие A ₂ – появление черного шара являются событиями единственно возможными, несовместными и равновозможными, т.е. являются элементарными исходами.

Определение. Говорят, что событие благоприятствует событию или событие влечет за собой событие , если при появлении события событие обязательно

наступает.

Если событие влечет за собой событие , то это обозначают символами:

или .

Пример. Если событие состоит в том, что студент устроится на работу в банк, событие состоит в том, что студент устроится на работу в супермаркет, то для события , состоящего в том, что студент устроится на работу, выполняются соотношения

, .

Определение. Если событие влечет за собой событие , а событие влечет за собой событие , то события и называются эквивалентными или равносильными.

Если события и равносильны, то это обозначают следующим образом

.

Таким образом, равносильные события и при каждом испытании либо оба наступают, либо оба не наступают.

Определение. Суммой (объединением) двух событий и называется событие , которое состоит в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Таким образом, если события и совместны, то суммой этих событий является событие , которое состоит в наступлении или события , или события , или совместном наступлении событий и .

Определение. Суммой (объединением) событий называется событие , которое состоит в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Продемонстрируем определение суммы событий с геометрической точки зрения с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Пример. Пусть событие состоит в попадании в круг , событие состоит в попадании в круг . Требуется определить событие .

Рис. 1.

Решение. Введем обозначения:

Если события и несовместны, то с геометрической точки зрения (рис.2) круги на

Рис. 2.

диаграмме Эйлера-Венна не пересекаются.   Из рассмотренного примера вытекает следующее определение суммы несовместных событий.

Определение. Суммой несовместных событий называется событие C, состоящее в наступлении одного из этих событий.

Пример. Найти событие, состоящее в том, что студент сдаст экзамен.

Решение. Введем обозначения:

Определение. Произведением (пересечением) двух событий A и B называется событие , состоящее в совместном наступлении этих событий.

Таким образом, произведением двух событий и является событие , которое состоит в наступлении и события , и события .

Определение. Произведением (пересечением) событий называется событие , состоящее в совместном наступлении этих событий.

Рассмотрим операцию произведения событий с геометрической точки зрения.

Пример. Пусть событие состоит в попадании в круг , событие состоит в попадании в круг . Требуется определить событие .

Рис. 3.

Решение. Введем обозначения:

Если события и несовместны, то с геометрической точки зрения (рис.4),

Рис. 4.

круги на диаграмме Эйлера-Венна не имеют ни одной общей точки.

Этот вывод остается верным и в общем случае, если события A и B несовместны, то их совместное наступление невозможно, т.е. произведение

.

Пример. Найти событие, состоящее в том, что студент сдал сессию, включающую в себя три экзамена.

Решение. Введем обозначения:

Определение. Разностью двух событий A и B называется событие , которое состоится, если событие A произойдет, а событие B не произойдет.

A B

Операции действий над событиями обладают следующими свойствами:

1. Законы коммутативности	5. Законы де Моргана .
2. Законы ассоциативности	6. Законы поглощения .
3. Законы дистрибутивности	7. Законы склеивания
4. Законы идемпотентности .	8. Законы, в которые входят достоверное событие и невозможное событие ; ; = .

Дата добавления: 2015-04-30