Геометрическое определение вероятности. Рассмотрим мерное вещественное пространство

Рассмотрим мерное вещественное пространство . Пусть производится испытание, состоящее в бросании наудачу точки на некоторую ограниченную область пространства . Все точки области «равноправны» в отношении попадания в нее случайно брошенной точки. Требуется определить вероятность события , состоящего в попадании точки на некоторую область .

Геометрическое определение вероятности. Геометрической вероятностью события называется отношение меры области , благоприятствующей появлению события , к мере области

.

Точное определение меры множества выходит за пределы курса. Поэтому здесь мы только отметим, что в одномерном случае мера отрезка равна его длине, в двумерном случае мера фигуры равна ее площади, в трехмерном пространстве мера тела равна его объему.

Заметим, что в геометрическом определении вероятность события пропорциональна мере области ине зависит ни от расположения области относительно , ни от формы области .

Задача. После бури между пунктами и , расположенными соответственно на 40-м и 70-м километрах телефонной линии, произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что

обрыв произошел между 50-м и 55-м километрами?

Решение.

Задача о встрече. Два партнера условились встретиться между 17 и 18 часами. Причем каждый является на место встречи в любой момент между 17 и 18 часами, ждет другого в течении 30 минут и уходит, если встреча не состоялась. Найти вероятность того, что назначенная встреча состоится.

Решение. Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности.

у   В К С N 0,5   O M D х Рис. 1.

В прямоугольной системе координат возьмем за начало отсчета 17 ч, а за единицу масштаба 1 ч. Пусть первый партнер явился на место встречи в момент , а второй в момент . По условию задачи значения и изменяются в пределах , .

Этим неравенствам удовлетворяют точки области , которая представляет собой квадрат со стороной, равной 1. поэтому

(ед. мас.)²

Событие – встреча двух партнеров состоится, если модуль разности между и не превзойдет 0,5 ч, т.е.

Откуда

.

С геометрической точки зрения, решением последнего неравенства являются точки, лежащие внутри заштрихованной полосы (рис 1), ограниченной прямыми и . Найдем площадь области

Поэтому вероятность встречи двух партнеров определяется по формуле

.

Дата добавления: 2015-04-30