Амплитудно-фазовый метод преобразования одночастотного колебания в симметричное двухчастотное

Теоретическими предпосылками амплитудно-фазового метода преобразования одночастотного колебания в симметричное двухчастотное явились результаты работ Тетельбаума С.И., посвященные применению методов амплитудно-фазовой модуляции для повышения эффективности радиосвязи [41, 42] и работы [33, 43, 44] посвященные исследованию электрооптических устройств сдвига частоты, основанных на фазовой модуляции одночастотного излучения. Теоретическое обоснование способа проведено на базе классического подхода к решению вопроса о видах модуляции и спектрах модулированных колебаний Гоноровским И.С., Харкевичем С.А., Винницким А.М. [45 – 47].

Исходное одночастотное колебание запишем в виде

, (7.1)

где j(t) =w₀ t + j₀ – закон изменения фазы колебания, а Е ₀, w_0, j₀ – его постоянные амплитуда, частота и начальная фаза. Временная диаграмма (7.1) представлена на рис. 7.1, а, а спектр коэффициентов ряда Фурье на рис. 7.1, б.

Все временные процессы будем рассматривать относительно момента времени t =0, при j₀=0.

Из теории модулированных колебаний известно, что при фазовой модуляции с определенными индексами возможно уменьшение (подавление) амплитуды несущего колебания и образование двух симметричных боковых полос [45 – 47].

Рассмотрим случай, когда фаза колебания (7.1) j(t) изменяется по закону

, (7.2)

где T =2p/W, W=w₀/ k, q – период, частота, величина изменения фазы, причем k >>1 – целое число, а p = 0, 1, 2 …

В аналитическом виде такое колебание можно описать следующим выражением

. (7.3)

Рассмотрим случай, когда q=p. Временная диаграмма колебания (7.3) при q=p представлена на рис. 7.2, а. Разложение (7.3) в ряд Фурье имеет вид

, (7.4)

где n = 1, 3, 5 – номер составляющей разложения по модулирующей частоте.

Таким образом, колебание (7.3) представляет собой колебание с подавленной несущей и множеством боковых составляющих, амплитуда которых определяется коэффициентами ряда Фурье (7.4) E_n =2 E ₀/p n. Спектр коэффициентов ряда Фурье представлен на рис. 7.2, б.

Спектр колебания (7.3) многочастотен. Однако, при условии подавления составляющих с n ³ 3 (будем называть их паразитными) возможно получение двухчастотного колебания с частотами w₀±W.

С целью определения механизма подавления паразитных гармоник рассмотрим характерные особенности спектра колебания (7.3):

1. Составляющая на частоте несущего (исходного) колебания подавлена.

2. Образованы две симметричные боковые полосы с составляющими на частотах w₀+ n W (верхняя) и w₀- n W (нижняя). Частотный интервал между составляющими – 2W.

3. Для начальных фаз колебаний ряда Фурье (7.4) выполняются следующие условия: начальные фазы колебаний ряда Фурье внутри полос равны, причем , где - фаза составляющих нижней полосы, а - верхней.

Опираясь на основы теории модулированных колебаний [45 – 47] и анализ характерных особенностей спектра колебания (7.3), можно предположить, что подавление паразитных составляющих возможно при использовании амплитудной модуляции (7.3) неким колебанием S (t), удовлетворяющим следующим требованиям.

При амплитудной модуляции колебанием S (t) одночастотного колебания (7.1) образуется амплитудно-модулированное (АМ) колебание, у которого:

а) частотный интервал между несущей и ближайшими боковыми составляющими равен 2W;

б) частотный интервал между боковыми составляющими в каждой из полос (при условии сложной по гармоническому составу модулирующей функции S (t)) равен 2W;

в) начальная фаза несущего колебания отличается на p от начальной фазы боковых составляющих;

г) начальные фазы боковых составляющих верхней и нижней полос одинаковы.

Простейшим колебанием, удовлетворяющим этим требованиям, является колебание вида

, (7.5)

где S ₁ – его постоянная амплитуда, а p – начальная фаза.

Временная диаграмма и спектр коэффициентов ряда Фурье для случая модуляции колебанием (7.5) колебания (7.1), которые показаны соответственно на рис. 7.3, а и 2.3, б. При этом

, (7.6)

где – коэффициент амплитудной модуляции, а k _AM – коэффициент пропорциональности.

На примере колебания (7.5) с помощью рис. 7.4 иллюстративно покажем механизм подавления паразитных составляющих (7.3). Ограничимся рассмотрением составляющих с n £ 5. Боковые составляющие при амплитудной модуляции колебанием (7.5) спектральных составляющих колебания (7.3) будем строить согласно (7.6) и рис. 7.3.

На рис. 7.4 показаны:

· – амплитуды спектральных составляющих колебания (7.3) верхней и нижней полос частот соответственно;

· , () – амплитуды соответственно нижней и верхней боковых спектральных составляющих, образованных при амплитудной модуляции колебанием (7.5) составляющих ;

· – амплитуды результирующих составляющих с номером n в нижней (верхней) боковой полосе.

Для наглядности спектральные составляющие, лежащей на одной частоте разнесены (их частота обозначена фигурной скобкой).

В пояснение рис. 7.4 скажем следующее. При амплитудной модуляции (7.3) колебанием (7.5) каждая n -я составляющая (7.4) образует согласно (7.6) и рис. 7.4, б по две боковых, лежащих на частотах (n ±2)-ых составляющих. Амплитуды боковых , а начальные фазы отличаются на p от . Например, при n =3 для составляющей на частоте с амплитудой боковые будут лежать соответственно на частотах и , а их начальная фаза . Для составляющей на частоте с амплитудой боковые будут лежать соответственно на частотах и , а их начальная фаза . Особенность случая для n =1 заключается в том, что начальные фазы составляющих на частотах , и равны, также как и для равны начальные фазы . Выполнение указанных амплитудных и фазовых условий приводит к уменьшению амплитуд паразитных составляющих и увеличению амплитуд полезных составляющих на частотах .

В аналитическом виде случай модуляции (7.3) колебанием (7.5) описывается выражением

, (7.7)

где q = p.

Временная диаграмма (7.7) представлена на рис. 7.5, а. Разложение (7.7) в ряд Фурье имеет вид

(7.8)

Амплитуды гармоник определяются коэффициентами ряда Фурье

(7.9)

Спектр его коэффициентов Фурье показан на рис. 7.5, б.

Из анализа (7.9) видно, что первое слагаемое определяет спектр коэффициентов ряда Фурье (7.3), а второе и третье описывают компенсирующее воздействие на его составляющие. Степень компенсации зависит от коэффициента модуляции. Решив (7.9), исходя из условия E ₃=0, получим m =5/9 при этом E ₁=0,76 E ₀, E_n £ 0,05 E ₀, для n ³5. С другой стороны, при m =1 можно получить максимальную амплитуду E ₁=0,85 E ₀. Определение рекомендаций для выбора m будет приведено в следующем параграфе, где более полно исследуется зависимость спектральных характеристик преобразованного колебания от m и q.

Полученное колебание (7.7) при m = 5/9 содержит две частотные составляющие w₀ ± W и паразитные составляющие с n ³ 5 и в 15 раз меньшими амплитудами.

Полного подавления паразитных составляющих можно добиться при использовании модулирующего колебания

, (7.10)

где S ₂ – его постоянная амплитуда.

Колебание (7.10) удовлетворяет разработанным нами требованиям для подавления паразитных составляющих. Это подтверждается приведенными временной диаграммой (рис. 7.6, а) и спектром коэффициентов ряда Фурье (рис. 7.6, б) АМ-колебания в случае модуляции колебанием (7.10) колебания (7.1).

В аналитическом виде такое АМ-колебание можно записать как

(7.11)

где S ₌ - постоянная составляющая разложения колебания (7.10) в ряд Фурье. Учитывая, что имеет наибольшую амплитуду среди коэффициентов ряда Фурье (7.10), определим коэффициент амплитудной модуляции в (7.11) как и пронормируем амплитуду остальных составляющих к S ₌.

Тогда

(7.12)

В случае амплитудной модуляции колебания (7.3) колебанием вида (7.10) получим

. (7.13)

где q = p.

Произведя разложение в ряд Фурье, получим

. (7.14)

Из (7.14) следует, что максимальную амплитуду составляющих на частотах w₀ ± W и полное подавление паразитных составляющих можно получить при b =1. Амплитуда спектральных составляющих колебания (7.14), временная диаграмма которого показана на рис. 7.7, а, определяется коэффициентами ряда Фурье спектр которых для случая b = 1, показан на рис. 7.7, б.

, (7.15)

Таким образом, при b =1 колебание (7.12) не содержит в спектре паразитных составляющих. Спектр (7.12) содержит две составляющие на частотах w₀ ± W с амплитудой E ₁=0,79 E ₀.

В результате проведенных исследований разработан амплитудно-фазовый метод преобразования одночастотного колебания в симметричное двухчастотное при полном отсутствии паразитных составляющих [48].

Суть способа заключается в следующем. Одночастотное колебание модулируют по амплитуде с коэффициентом модуляции m =1 колебанием вида (7.10), а затем коммутируют фазу полученного AM-колебания на p при каждом прохождении его огибающей минимума. Такой порядок операций в способе обусловлен независимостью конечного результата и более простой технической реализацией [49]. Минимальный уровень паразитных составляющих E_n £ 0,05 E ₀ достигается при амплитудной модуляции одночастотного колебания колебанием (7.5) с коэффициентом модуляции m = 5/9.

Дата добавления: 2015-04-30