Случайные погрешности измерений

5.1 Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения

Рассмотрим результат наблюдения х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения xj – результаты отдельных наблюдений.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности Р того, что результат наблюдения х_i в i-м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х, от самой величины х

F(x) = P{x_i≤x} = P{-∞<x_i≤x} (5.1)

Если рассматривать результат отдельного наблюдения x_i как случайную точку на оси О_х (рисунок 5.1), то значение интегральной функции распределения в точке х численно равно вероятности того, что случайная точка х_i в результате i-го измерения займет некоторое положение левее точки х. Эти вероятности отличаются друг от друга для различных точек х. При перемещении точки х вправо вдоль числовой оси вероятность того, что в результате измерения точка х_i расположится левее х, не может уменьшаться. Следовательно, интегральная функция распределения результатов наблюдений является неубывающей функцией аргумента. При увеличении координаты х событие x_i ≤ x становится все более и более достоверным, а его вероятность приближается к единице. При перемещении точки х влево вдоль числовой оси О_х вероятность события х_i ≤ х может только уменьшаться или оставаться постоянной в некоторых интервалах значений х. При х→∞ вероятность события стремится к нулю.

Рисунок 5.1

Обычно график интегральной функции распределения результатов наблюдений представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля на отрицательной бесконечности и асимптотически приближающуюся к единице при увеличении аргумента до плюс бесконечности (рисунок 5.2). Часто при х=х_ср интегральная функция распределения имеет точку перегиба. Тогда, если в точке перегиба интегральная функция распределения принимает значение, равное 0,5, говорят о симметричности (равносторонности) распределения результатов наблюдений.

Рисунок 5.2

Случайная погрешность рассматривается как случайная величина, принимающая в различных опытах различный значения Δ_i. Ее интегральную функцию распределения получаем переносом начала координат в точку х=х_ср

F() = P{ _i≤Δ}= p{x_i–x_ср≤x–x_ср}. (5.2)

Более наглядным является описание свойств результатов случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей и обозначаемой через p(Δ). Дифференциальная функция распределения является функцией, производной от интегральной по своему аргументу

. (5.3)

График дифференциальной функции распределения, который называют кривой распределения, чаще всего, имеет колоколообразную форму и обладает максимумом при х=х_ср или, соответственно =0 (рисунок 5.3). От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования первой:

. (5.4)

Рисунок 5.3

Поскольку F(+∞)=1, то справедливо следующее равенство

. (5.5)

Иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице. Размерность плотности распределения вероятностей, как это следует из формулы (5.3), обратна размерности измеряемой величины, поскольку сама вероятность − величина безразмерная. Используя понятия функций распределения, легко получить выра­жения для вероятностей того, что случайная погрешность примет при проведе­нии измерения некоторое значение в интервале ().

В терминах интегральной функции распределения имеем

, (5.6)

т.е. вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал равна разности значений функции распределения на границах этого интервала.

Заменяя в полученных формулах интегральные функции распределения соответствующими плотностями распределения вероятностей согласно выражению (5.4), получим формулы для искомой вероятности в терминах дифференциальной функции распределения

(5.7)

Таким образом, вероятность попадания случайной погрешности в заданный интервал равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала.

Произведение называют элементом вероятности. Оно равно вероятности того, что случайная величина примет некоторые значения в интервале , и поэтому по форме кривой распределения можно судить о том, какие интервалы значений случайных величин более, а какие менее вероятны. Для кривой распределения случайных погрешностей, изображенной на рисунке 5.3, более вероятны малые значения погрешностей, лежащие вокруг А=0. Вероятность появления больших погрешностей значительно меньше.

Таким образом, результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это даёт основание принять за оценку истинного значения измеряемой величины координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения и называемой математическим ожиданием результатов наблюдений

. (5.8)

В заключение можно дать более строгое определение постоянной систематической и случайной погрешностей.

Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой величины

Δ_s=M[x]–Q, (5.9)

а случайной погрешностью – разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием:

= х-М[х]. (5.10)

В этих обозначениях истинное значение измеряемой величины составляет

Q = x-Δ_s- . (5.11)

5.2 Моменты случайных погрешностей

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами.

Начальным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

, (5.12)

представляющий собой математическое ожидание степени х^г.

Из выражения (5.12) непосредственно следует, что первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов наблюдений

α₁[х] = М[х]. (5.13)

Центральным моментом r-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

, (5.14)

представляющий собой математическое ожидание r-й степени случайной погрешности.

Можно доказать, что первый центральный момент тождественно равен нулю

. (5.15)

Аналогично строится система моментов для распределения случайных погрешностей. Необходимо отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений

(5.16)

поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю. Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений и обозначаемый D[x]

(5.17)

Дисперсия случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюде­ний и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением (с.к.о.) результатов наблюдений:

(5.18)

С помощью с.к.о. можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины ε, т.е. вероятность р{| | < ε}.

Для этого запишем выражение для дисперсии случайной погрешности:

.

Если сузить пределы интегрирования, то правая часть равенства возрасти не может. Поэтому имеет место следующее неравенство

.

При замене под знаком интеграла на меньшую величину ε² неравенство может только усилиться

.

Интегралы в квадратных скобках представляют собой, согласно формуле (5.7), вероятности того, что случайная погрешность примет значения, лежащие в интервалах, определяемых пределами интегрирования,

Получаем окончательно

(5.19)

Этот результат известен как неравенство Чебышева.

Полагая ε = 3·δ_Х, найдем вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного с.к.о., т.е. вероятность того, что случайная погрешность окажется большей 3·δ_Х,

.

Вероятность того, что погрешность измерения не превысит 3·5_Х, составит соответственно .

Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности , меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно значительно больше 89 %. Так, например, в случае нормального распределения погрешности эта вероятность составляет 99,73 %.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий момент случайных погрешностей служит характеристикой асимметрии, или скошенности, распределения. В общем случае любой нечетный момент случайной погрешности характеризует асимметрию распределения. Действительно, если распределение обладает свойством симметрии, то все функции вида , где s = 1,3,5,..., являются нечетными функциями . Поэтому все нечетные моменты, являющиеся интегралами этих функций в бесконечных пределах, должны равняться нулю. Отличие этих моментов от нуля как раз и указывает на асимметрию распределения.

Простейшим из нечетных моментов является третий момент . Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень с.к.о. и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию S_k распределения:

. (5.20)

Для иллюстрации сказанного на рисунке 5.4 приведены три кривые распределения случайных погрешностей с положительной, отрицательной и нулевой асимметрией.

Рисунок 5.4

Четвертый момент служит для характеристики плосковершинности или островершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса - безразмерной характеристики, определяемой выражением

. (5.21)

Число 3 вычитают из отношения, потому что для широко распространенного нормального распространения погрешностей . Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю, более плоско вершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные − положительным (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5

5.3 Равномерное и нормальное распределение случайных погрешностей

Часто бывает заранее известно, что все возможные значения случайной по­грешности средства измерений равновероятны и лежат в пределах некоторого интервала. Распределение таких случайных погрешностей называется равномерным (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6

Значения дифференциальной функции распределения равномерно распределенной случайной погрешности в интервале [–α;+α] постоянны, а вне этого интервала равны нулю. Поэтому выражение для дифференциальной функции распределения случайной погрешности можно записать в виде

(5.22)

Величину с находят из условия, что площадь, заключенная между кривой распределения и осью абсцисс, равна 1

(5.23)

Уравнение для интегральной функции распределения получаем интегрированием дифференциальной функции распределения. До тех пор пока , интеграл равен нулю и F() = 0. В пределах интервала [-α;+α]

Дата добавления: 2015-04-30