Гамма–распределение

Случайная величина наработки до отказа T имеет гамма-распределение с параметрами α (масштабный параметр) и β (параметр формы), где α, β > 0, причем β – целое число, если ее ПРО описывается выражением:

(3.36)

где Г(β) = (β - 1)! – гамма-функция Эйлера. Очевидно, что при β = 1 выражение (3.36) упрощается до вида (3.25), соответствующего экспоненциальному распределению.

Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону. При больших β гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами: a = β·α ·, b = β·α². Графики изменения показателей надежности при гамма -распределении приведены на Рис. 3.10

Числовые характеристики наработки до отказа являются:

- средняя наработка (МО наработки) до отказа

T₀ = β/ α, (3.37)

- дисперсия наработки до отказа:

D = D{T} = β/ α². (3.38)

Рис. 3.10 Показатели надежности для гамма-распределения

Помимо рассмотренных законов распределения, в качестве моделей надежности объектов могут использоваться и другие, например: распределение Вейбулла, хорошо описывающее наработку объектов до отказа по усталостным разрушениям, распределение Релея, распределение Эрланга и т. п.

Контрольные вопросы:

1. Что представляет математическая модель, и для каких целей она используется в задачах надежности?

2. Из каких условий выбирается закон распределения наработки до отказа объекта?

3. В чем заключается постановка задачи при испытаниях объектов на надежность?

4. Что представляет собой процедура формирования статистического ряда по результатам испытаний?

5. Какие эмпирические функции рассчитываются при обработке результатов испытаний?

6. В чем заключается выбор закона распределения наработки до отказа по результатам испытаний?

7. Что представляет собой критерий согласия?

8. Объясните, почему распределение Гаусса называется нормальным?

9. Поясните на изменении кривой плотности распределения отказов влияние параметров распределения математического ожидания и дисперсии?

10. Приведите расчетные выражения для показателей безотказности, определенные через табличные функции f(x), F(x) и Φ(x)?

11. При каких условиях корректно использовать классическое нормальное распределение, и в каких случаях целесообразно применять усеченные нормальные распределения?

12. Приведите расчетные выражения показателей безотказности для усеченного «слева» нормального распределения?

13. Наработка до отказа серийно выпускаемой детали распределена нормально с параметрами: Т₀ = M(T) = 10⁴ час, S = S (T) = 250 час. Определить:

1) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [5000, 9000 час];

2) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [ Т₀ - 3S, Т₀ + 3S ];

3) вероятность того, что безотказно проработав до момента времени 5000 час, деталь безотказно проработает и до 9000 час?

Ответы: 1) 0.00003, 2) 0.9974, 3) 0.99997.

14. Комплектующая деталь, используемая при изготовлении устройства, по данным поставщика этой детали имеет нормальное распределение наработки с параметрами:

Т₀ = 4 · 10³ час, S = 800 час. Определить интересующую конструктора прибора:

1) наработку до отказа, соответствующую 90% надежности детали;

2) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, лежащую в интервале [2.5 · 10³, 3 · 10³];

3) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, большую, чем 2.5 10³ час?

Ответы: 1) 2974.4, 2) 0.0755, 3) 0.9699.

15..Как описывается изменение плотности распределения отказов при экспоненциальном распределении наработки до отказа?

16..Получите расчетное выражение для ВБР, ВО и ИО при экспоненциальном распределении наработки до отказа?

17. Как связаны числовые характеристики наработки до отказа с интенсивностью отказов при экспоненциальном распределении наработки до отказа?

18. Для описания надежности каких объектов используется логарифмически-нормальное распределение?

19. Какой из параметров в выражении плотности распределения отказов при гамма-распределении наработки является параметром формы и параметром масштаба?

20. Известно, что серийно выпускаемая деталь имеет экспоненциальное распределение наработки до отказа с параметром λ = 10^-5 час^-1. Деталь используется конструктором при разработке нового прибора. Назначенный ресурс прибора предполагается T_н = 10⁴ час. Определить интересующую конструктора:

1) среднюю наработку детали до отказа;

2) вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале наработки [ 0, T_н ];

3)вероятность того, что деталь безотказно проработает в интервале наработки [10³, 10⁴ час]?

Ответы: 1) 10⁵ час, 2) 0.905, 3) 0.914.

21. На сборку прибора поступила деталь, прошедшая испытания на надежность. Известно, что наработка до отказа детали подчиняется экспоненциальному распределению с параметром λ = 5 10^-5 час^-1. Определить вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [10³, 10⁴час]?

Ответ: 0.345.

Дата добавления: 2015-04-30