Или 230102 (2202)

МОСКВА, 200_ г.

Задание на контрольную работу.

Студенты специальностей 140402, 220301 и 230102 (0702,2102 и 2202) заочной полной и сокращённой форм обучения должны выполнить одну контрольную работу, состоящую из 12 задач. При решении задач следует руководствоваться учебным пособием [1]. Исходные данные для решения задач даны в виде зависимостей от целочисленных индексов k и n, значения которых есть цифры шифров зачётной книжки студентов. Индекс k определяется последней цифрой шифра, а индекс n -предпоследней. Например, если шифр имеет вид 127-Мх-98, то k=7, n = 2. Так исходные данные для задачи №1 определяются следующим образом:

t₀₁ = 26,00+0,05 k = 26,00+0,05 ·7 = 26,35, (°С);

t₀₂ = 27,50+0,05 n = 27,50+0,05·2 = 27,60, (°С).

Задача №1. Результаты измерений температуры t (^oС) являются случайными

величинами, подчиняющимися нормальному закону распределения с математическим ожиданием m_t=27,1 °С и средним квадратичным отклонением (с.к.о.) σ_t (^oC)=0.9 ^oC. Вычислить вероятность выполнения неравенства

t₀₁ ≤ t≤t₀₂, где t₀₁ =26,00+0,05 ·k, °С, t₀₂ = 27,50+0,05 ·n, °С.

Задача №2. Результаты измерений температуры t (°С) являются случайными величинами и подчинены нормальному закону распределения с m_t =20,1 σ_t =0,8 °С. Определить интервал Δ_t, для которого с вероятностью р==0,7+0,01 ·k +0,01 ·n удовлетворяется неравенство / t - m_t/≤ Δ_t.

Задача №3. Измерения величины у подчинены нормальному законураспределения с математическим ожиданием m_y и дисперсией σ_y. Вычислить вероятностьвыполнения неравенства | y-m_y \ ≤ 0,1 σ_y · k +0,1 σ_y· n.

Задача №4. Результаты измерений давления р (Мпа) являются случайными величинами, подчинёнными закону равномерного распределения и находятся в пределах p₀₁≤p≤p₀₂ , где p₀₁ = 1,25+0,05k (МПа), p₀₂ = 2,25+0,05 n (МПа). Найти математическое ожидание m_p и дисперсию σ_p² для измеренного давления.

Задача №5. Результаты измерений давления р (MПа) являются случайными величинами и подчинены закону равномерного распределения с известными параметрами: m_p = 1,61 МПа, σ_р =0,55 МПа. Вычислить вероятность выполнениянеравенства p₀₁ ≤ p≤p₀₂, где p₀₁ =1,55+0,005 k (МПа), p₀₂ =1,65+0,005 n ( МПа).

Задача №6. Термометр, измеряющий температуру t(°С) в рабочем диапазоне от t_min=0 °С до t_mах=200+50 k +50 n ( °С), имеет класс точности С==0,6. Определить Δ_max-граничную погрешность термометра.

Задача №7. Манометр, измеряющий давление в рабочем диапазоне от р_min = 0,05 МПа до p_max = 2,0+0,1 · k ( МПа), имеет граничную погрешность Δp_max=0,02+0,005 · n ( МПа). Определить класс точности манометра.

Задача №8. Найти минимальную разность давлений р_1-2, которую можноизмерить с точностью 3 % по формуле p₁₂=p₁-p₂ с помощью двух манометров класса точности 0,5. Манометры имеют диапазоны измерений равные

Δp=1,0+0,1 · k +0,1 · n.

Задача №9. Вычислить граничную приведенную погрешность δ₀p измерения давления со значением р==0,5+0,01 · k ( МПа), осуществлённого с помощью манометра класса 0,6, имеющего диапазон измерений Δр=2+0,1 · n (МПа).

Задача №10. По результатам 5+ k измеренийбыли получены статистические характеристики температуры:математическое ожидание m _t⁰ и с.к.о. σ_t⁰ = 1,0 °С. Вычислить: 1) при условии нормального распределения результатов измерений доверительную вероятность выполнения неравенства /m_t–m_t⁰/≤(0,7+0,01 n) °С.2)для заданной доверительной вероятности β=0,8 определить доверительный интервал для дисперсии.

Задача №11. Тепловой поток Q (Вт), отводимый от теплообменного аппарата,может быть определён на основе косвенного измерения по формуле

Q=G·с(t₀ –t₁),

где G- расход рабочего тела (кг/с), t₀, t₁ —температура рабочего тела на входе и выходетеплообменного аппарата, c-удельная теплоёмкость рабочего тела (Дж/кг)-является табличной характеристикой. Величины G, t₀, t₁ -определяются с помощью прямых измерений расхода и температур при с.к.о. погрешностей измерения σ_Q=0,5 кг/с, σ_t=0,5 °С. Вычислить σ_Q - с.к.о. погрешности измерения Q при с== 4,19.10³ Дж/кг°С, G=(45+1,0 ·k) кг/с, t₀=25°С, t₁=(5+1,0· n) °С.

Задача №12. Температура 1(°С) может быть оценена с помощью косвенного измеренияна основе формулы зависимости величины термосопротивления ( ТС) меди R, оттемпературы в виде R_t=R₀( 1+αt), где α -температурный коэффициентсопротивления меди. R_о—величина ТС при 0°С и формулы, связывающей напряжение U_изм, ток I_изм. R_t и R_л- сопротивление подводящих проводников схемы для ТС.

R_t = (U_изм /I_изм)-R_л

Величины U_изм, I_изм, измеряемые вольтметром и амперметром, являются результатом прямых измерений с граничными погрешностями ΔU_max=0,01 B, ΔI_max=0,01А. Вычислить Δt_max -граничную погрешность измерения температуры t при Uизм=(5+1,0·k) В, I_изм=(0,б0+0,01· n) А, R_о=10 Ом, R_л=0,5 Ом, α=4,26 ·10^-3 (°С)^-1.

Задача №1. При измерении температуры установлено, что массив результатов измерений можно считать случайными величинами с нормальным законом распределения, имеющим следующие параметры:

математическое ожидание – m_t=27,1^oC;

среднее квадратичное отклонение - = 0,9^оС.

Вычислить вероятность выполнения неравенства

, где t₁= 26,15^oC, t₂=27,2^oC.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся интегралом вероятностей (функцией Лапласа). Для этого сформируем независимую переменную следующего вида . Теперь по таблицам интеграла вероятностей Ф(z), представленным в приложении [1], пользуясь числовыми значениями z₁, z₂, находим соответствующие значения Ф(z₁) и Ф(z₂).

Ведём расчёт:

z₁= ; z₂= .

Далее воспользуемся следующим свойством интеграла вероятностей

, т.е. ; Ф(-z₁)=1- Ф(z₁)=

=Ф(z₁)+Ф(z₂)-1=0,544+0,855-1=0,399.

Ответ:

=0,399.

Задача №2. Результаты измерений температуры t^oC являются случайными величинами с распределением по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание m_t=20,1^oC, средним арифметическим отклонением =0,8^оС. Определить интервал D_t, для которого вероятность Р удовлетворения неравенства равна 0,75.

Используя интеграл вероятностей, находим

P= , отсюда 0,88.

Обращаясь к таблицам интеграла вероятностей в приложении к [1], находим числовое значение аргумента в круглых скобках, т. е.

1,03, _t=0824.

Задача №3. Измерения случайной величины х подчинены нормальному закону распределения с математическим ожиданием m_x и дисперсией ². Вычислить вероятность выполнения неравенства

| | .

Решение. Сформируем случайную величину для функции интеграла вероятностей | | 0,1. По таблицам для интеграла вероятностей по значению z=0,1 находим соответствующее значение интеграла вероятностей

Ф(z=0,1)=0,54. Искомая вероятность Р=2Ф(0,1)-1=0,08.

Задача №4. Результаты измерений давления р (Мпа) являются случайными величинами, подчинёнными закону равномерного распределения и находятся в пределах р₁ , где р₁=1,5 Мпа, р₂=2,5 Мпа. Найти математическое ожидание m_p и дисперсию для измеренных величин давления.

Решение. Формулы для математического ожидания и дисперсии имеют вид

.

Подставив численные значения р₁ и р₂ получим m_p=2,0 МПа; =0,0833 (МПа)².

Задача №5. Результаты измерений давления р(Мпа) являются случайными величинами и подчинены закону равномерного распределения с =0,25 Мпа. Вычислить вероятность выполнения неравенства , где р₁=1,35 Мпа, р₂ =1,75 Мпа.

Решение. Искомая вероятность определится как отношение площади на графике плотности вероятностей, ограниченной прямыми 1/(x₂-x₁) и p₁=1,35; p₂=1,75 к площади, ограниченной предельными значениями р₀₁ и р₀₂, которые находятся по известным соотношениям ; , см. рис.

f(p)

с=

р₀₁ р₁ р₂ р₀₂ p,Мпа

Р= = =0,23.

Задача №6. Термометр, имеющий шкалу t_min=0^oC – t_max=250^oC и класс точности С=0,6.

Определить - значение граничной абсолютной погрешности термометра.

Решение. Значение приведенной погрешности в соответствие с определением класса точности определяется зависимостью

.

Искомое значение граничной абсолютной погрешности определяется по формуле =0,006 (250-0)=1,5^оС.

Задача№7. Определить класс точности манометра, рабочий диапазон которого от р_min=0,05 Мпа до p_max=2,5 МПа и граничная погрешность

=0,025 МПа.

Решение. Приведенная погрешность манометра выражается следующим образом = =0,01. Ближайшим подходящим из стандартного ряда для величины =1 является число 1, что даёт основание считать данный манометр прибором класса точности 1.

Задача №8. Измерение разности давления осуществляется при помощи двух манометров класса точности С= 0,5. Диапазоны измерений манометров =1,6 МПа. Найти минимальную разность давлений, которую можно измерить данными манометрами с точностью 3%.

Решение. Измерение разности давления при помощи двух манометров осуществляется по формуле , даёт погрешность , где и абсолютные погрешности измерения давления манометрами соответственно первым и вторым. Согласно определению класса манометров =0,008 МПа. Заданная относительная погрешность измерения при таком способе измерения разности давления будет =3 (%). Откуда искомая минимальная измеримая с заданной точностью разность давления

р_изм= =0,53 МПа.

Задача №9. Вычислить относительную погрешность измеренно-го давления р=0,5 МПа манометром класса С=0,5 с диапазоном показаний =2 МПа.

Решение. В соответствие с определением класса манометра абсолютная погрешность =0,5 2/100 =0,01 МПа. Тогда искомая относительная погрешность (2%).

Задача №10 По результатам 10 измерений были получены статистические характеристики температуры: оценки математического ожидания и среднего квадратичного отклонения (с.к.о.) =1 ^оС. Вычислить: 1) при условии нормального распределения результатов измерений температуры доверительную вероятность выполнения неравенства | | 0,75^oC; 2) для заданной доверительной вероятности =0,8 определить доверительный интервал для дисперсии.

Решение. 1). Первую часть задачи решаем, используя распределение Стьюдента, для чего сформируем случайную величину ==(0,75 )/1 =2,37. По таблице распределения Стьюдента (приложение 2 [1]) для N-1=10-1=9 по значению =2,37 находим искомую вероятность =0,97, для чего необходимо выполнить операцию линейной интерполяции между двумя значениями =0,95( =2,262) и 8( =2,821).

2).Вторая часть задачи решается с использованием распределения (хи-квадрат), называемое ещё и распределением Пирсона, т.к. это распределение является наиболее употребимым из ряда распределений Пирсона. Случайная величина, подчиняющаяся этому закону распределения формируется следующим образом . Определение двустороннего интервала требует задания доверительной вероятности как для нижней, так и для верхней границ интервала. В простейшем случае . Откуда для заданной =0,8 имеем р₁=0,1; р₂=0,9. По таблице распределения Пирсона (приложение 3 [1]) по значению N-1=9 и р₁=0,1; р₂=0,9 находим и . Искомый доверительный интервал для дисперсии имеет вид

, после подстановки числовых значений

или р(0,61 2,16)=0,8.

Задача №11. Количество теплоты, отводимое от теплообменного аппарата, может быть определено на основе косвенных измерений по формуле

, (*)

где G- расход рабочего тела (кг/с); t₁, t₂- температура рабочего тела на входе и выходе теплообменного аппарата; с- удельная теплоёмкость рабочего тела (Дж/кг), является заданной характеристикой. Величины G,t₁,t₂ – определяются путём прямых измерений расхода и температуры при с.к.о. погрешностей измерения =0,001 кг/с, =0,1 ^оС. Вычислить - с.к.о. погрешности измерения Q при с= 4,19 10³ Дж/кг ^оС, G= 2,5 кг/с, t₁=90^oC, t₂=5^oC.

Решение. Исходим из того обстоятельства, что измеряемые параметры, входящие в формулу (*) статистически независимы. В этом случае дисперсия ² равна сумме дисперсий параметров, измеряемых прямыми методами, умноженных на весовые коэффициенты, равные квадратам частных производных от Q по этим параметрам, т.е.

(**)

Найдём частные производные

, , .

Подставим численные значения измеренных величин

, , .

Просуммировав квадраты полученных числовых значений частных производных, умноженных на дисперсии, получим:

=(356,15 10³)² 0,001²+2 (10,47 10³)² 0,1²=209756 или

=458 (Дж).

Задача №12. Температура t ^oC может быть оценена с помощью косвенного измерения на основе формулы, выражающей зависимость величины термосопротивления (ТС) меди от температуры в виде

, (***)

где - температурный коэффициент сопротивления меди,

- величина ТС при 0^оС и при соответственно.

Сопротивление определяется по формуле , (****)

где - сопротивление подводящих проводников,

-падение напряжения, - сила тока.

Величины и , измеряемые вольтметром и амперметром, являются результатом прямых измерений с погрешностями _U = 0,01 В; =0,01А.

Вычислить погрешность измерения температуры при , , =4,26 10^-3(^оС)^-1, значения погрешностей _л считаем ничтожно малыми.

Решение. Объединяя формулы (***) и (****), после преобразований получим .

Используем аналог полного дифференциала от функции [2]:

t=| | +| | I. (х)

Определим частные производные от t по U и I:

; .

Находим численные значения частных производных и подставляем их в формулу (х).

; ,

=3,91 10² 10^-3+3,26 10³ 10^-4=0,717 (^оС).

Список используемой литературы

1.Гетманов В.Г., Жужжалов В.Е. Метрология, стандартизация и сертификация. М.: МГТА.- 2003.-77с.

2. Тартаковский Д.Ф., Ястребов А.С. Метрология, стандартизация и технические средства измерений. М.: «Высшая школа».- 2002.-205с.

Приложения

Дата добавления: 2015-04-30