Построение векторных диаграмм на комплексной плоскости

Алгебраическому сложению либо вычитанию мгновенное значение синусоидальных величин одинаковой частоты соответствует геометрическое сложение (вычитание) векторов этих величин. Это дает возможность сильно упростить расчет цепи синусоидального тока путем построения их векторных диаграмм.

Падение напряжения на входе уравновешивается суммой падений напряжения на R и L, т.е. u = u_R+u_L = Ri + Ldi/dt или для изображений

U = UR + UL = RI + jw LI = RI + jXLI.

(1)

Из выражения (1) следует, что

■ векторы U_R и U_L всегда перпендикулярны друг другу, т.к. каждый из них представляет собой вектор тока I, умноженный на соответствующую константу (R или X_L), а в падении напряжения U_L присутствует в качестве множителя оператор поворота на 90° - j;

■ сумма векторов U_R и U_L постоянная и равна вектору U.

Для упрощения построений, не ограничивая в то же время общности рассуждений, совместим вектор U с вещественной осью. Тогда в соответствии с условиями (1) при любых значениях R векторы U_R и U_L будут составлять с вектором U прямоугольные треугольники. Как известно, любой треугольник может быть вписан в окружность, причем дуги, на которые опираются углы вписанного треугольника равны двойному значению угла. Так как во всех векторных треугольниках угол между U_R и U_L равен 90°, то все они опираются на дугу в 180°, т.е. на диаметр, которым является постоянный вектор входного напряжения U. Следовательно, все треугольники векторов U_R, U_L и U вписываются в одну и ту же полуокружность, которая является геометрическим местом точек перемещения конца вектора U_R при всех изменениях значения R.

Так как векторы U_R и U_L связаны с вектором тока I постоянными коэффициентами, то из круговой диаграммы вектора U_R можно получить векторную диаграмму тока и она также будет круговой. Для получения вектора I, в соответствии с выражением (1), достаточно разделить все элементы треугольников U_R, U_L и U на R или jX_L. При этом мы получим подобный треугольник, одним из катетов которого будет I. Однако деление на Rнецелесообразно, т.к. эта величина переменная и для сохранения масштаба треугольников следует произвести деление на jX_L. В результате диаметр полуокружности станет равным U/X_L и она вследствие деления на оператор поворота j повернется относительно начала координат на угол - 90°. Полученная полуокружность и будет круговой диаграммой вектора входного тока I. Из нее можно заключить, что при R = 0 вектор тока отстает от напряжения на 90° и по модулю равен U/X_L. При R стремящемся к бесконечности модуль и аргумент вектора тока стремятся к нулю.

Дата добавления: 2015-05-06