Указания по методике выполнения работы

Суть метода заключается в том, что коэффициенты определяются из условия минимума

(2)

(1)

суммы квадратов отклонений точек модели ymod от экспериментально наблюдающихся

откликов yi,

где ymod – многочлен.

(3)

В приведённых формулах (1, 2) N – число наблюдений выходного параметра. Однако после упрощения модели может оказаться, что некоторые коэффициенты многочлена ymod практически не влияют на адекватность модели, мы их отбросим, руководствуясь таблицами. Отбросим по сути потому, что попали они в модель случайно, из-за погрешности, при измерениях с меньшей погрешностью данные коэффициенты могли бы оказаться ещё меньше по абсолютному значению. Чтобы выполнились условия (1), (2) в данном случае необходимо и достаточно:

где bi – коэффициенты многочлена ymod.

В результате взятия частной производной по каждой bi (i = 0,1…K) получим систему с (k+1) неизвестными коэффициентами bi. Для упрощения её решения применяют матричную алгебру. Вводят матрицу наблюдений X:

где xij – коэффициенты из (3). Матрица откликов Y:

Предположим, что полученные коэффициенты будут находится в матрице-столбце B размерностью (k+1):

Следовательно, нужно найти матрицу B.

С использованием введённых для вышеупомянутой системы уравнений можно написать соотношение, откуда и следует искать B:

Откуда:

Здесь и в предыдущих формулах верхним индексом T обозначена транспонированная матрица.

В произведении не следует переставлять матрицы местами, так как для произвольно заполненных матриц A и B не выполняется закон: A × B = B × A, т. е. A × B ¹ B × A в общем случае.

Если опыт осуществляется с дублированием, то коэффициенты B вычисляют по иной схеме. Дополнительно вводят диагональную матрицу дублирования P:

В этом случае:

В случае равномерного дублирования (все Pi равны) формула существенно упрощается:

Для снижения погрешностей в вычислениях целесообразно представлять данные эксперимента в стандартизованной форме:

где j – номер величины (j = 1, 2,..., k);

i – номер измерения выходной величины (i = 1, 2,..., N); N – общее число наблюдений.

В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид:

Проверка адекватности уравнения регрессии

В качестве меры точности построенной модели используют мат. ожидание квадрата разности истинного отклика y и значения ymod.

Для проверки адекватности используют критерий Фишера. Для такой оценки нужно:

1. Вычислить.

2. По заданному уровню значимости q (возьмём 0,05) и числам степеней свободы fад и fy в таблице распределений Фишера найти критическое значение Fqf1f2, где f1 = fад, f2 = fy; q – уровень значимости.

3. Сравнить значения F и Fqf1f2; если F < Fqf1f2, то построенная модель адекватна, иначе – нет.

Необходимые формулы для проверки адекватности:

где N – общее число опытов, включая дублированные;

N0 – число различных опытов;

Pi – число дублирований i-го опыта;

yi,L – значение выходного параметра в i-том опыте при L-том дублировании опыта;

ycpi – среднее выходного параметра в i-том опыте при L-том дублировании опыта;

ymodi - значение выходного параметра в i-том опыте согласно построенной модели;

(k+1) – число коэффициентов модели.

Проверка значимости каждого коэффициента уравнения регрессии

Возникает вопрос: нельзя ли упростить полученное уравнение регрессии, исключив из него некоторые коэффициенты?

Проверку значимости каждого коэффициента bj поводят по критерию Стьюдента в следующем порядке:

1) вычисляют оценку дисперсии коэффициента Sbj как соответствующий диагональный элемент матрицы V(B) по формуле:

При дублировании опытов матрица V(B) может быть вычислена как

2) Определяют t = |bj| / Sbj;

3) По заданному уровню значимости q (возьмём 0,05) и числу степеней свободы f = N – (k + 1) в таблице Стьюдента отыскивают критическое значение tqf;

4) если t < tqf, то данный bj можно положить нулю и исключить из модели переменную xj, умноженную на данный коэффициент.

КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ РАБОТЫ С ПРОГРАММОЙ,

ГЕНЕРИРУЮЩЕЙ ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ

1. Ввести имя, фамилию и вариант.
2. Нажать «Далее». Появятся данные Вашего варианта: сначала требуемые диаметр центральной боросиликатной части и разность показателей преломления кварцевого и боросиликатного стекол, а затем таблица, в которой слева записана концентрация оксида бора (III) и справа – измеренные разности показателей преломления кварцевого и боросиликатного стёкол. Каждый опыт дублирован 4 раза.
3. Нажать «Записать…» для записи варианта в файл.
4. Использовать записанный файл как данные для построения регрессионной модели.

Получить уравнение регрессии и проверить его адекватность.

5. В таблицу 1 в зависимости от варианта внести данные о диаметре центральной боросиликатной части в заготовке, разности ПП кварцевого и боросиликатного стекол, наружный диаметр и толщину стенки опорной трубки, коэффициент испарения кварцевого стекла, температуру барботеров, поток кислорода через барботер с четыреххлористым кремнием, коэффициент осаждения оксидов и скорость горелки., а также ввести ранее полученной уравнение регрессии и провести заложенные в программе вычисления. Ознакомиться с методикой определения технологических параметров проведения процесса.

6. Получить указания о проведении технологического процесса, а именно:

поток кислорода через барботер с бромидом бора,

расчетную концентрацию оксида бора в стекле,

число осаждаемых слоев,

расчетный диаметр заготовки.

7. Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТОВ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

Таблица 1. Значения t-распределения Стьюдента для уровня значимости 0,05

(f – число степеней свободы).

F	t	f	t	f	t	f	T
	12,706		2,1314		3,0452		1,997
	4,302		2,119		2,0423		1,9944
	3,182		2,1098		2,036		1,99
	3,2776		2,1109		2,0322		1,9867
	3,5706		2,093		2,0281		1,984
	2,446		2,086		2,0244		1,9799
	2,3646		2,079		2,0211		1,9759
	2,306		2,0739		2,018		1,9719
	2,2622		2,0687		2,0154		1,9695
	2,2281		2,0639		2,0129		1,9679
	2,201		2,0595		2,0106		1,9659
	2,1788		2,055		2,0086		1,964
	2,1604		2,0518		2,004
	2,1448		2,0484		2,0003

Таблица 2. Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05;

f1 – число степеней свободы числителя;

f2 – число степеней свободы знаменателя.

f2	f1
	18,51		19,16	19,25	19,3	19,33	19,35	19,37
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,62
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,5	3,44
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23
	4,96	4,1	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,2	3,09	3,01	2,95
	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11		2,91	2,85
	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77
	4,6	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,7
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,9	2,79	2,71	2,64
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59
	4,45	3,59	3,2	2,96	2,81	2,7	2,61	2,55
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51
	4,38	3,52	3,13	2,9	2,74	2,63	2,54	2,48
	4,35	3,49	3,1	2,87	2,71	2,6	2,51	2,45
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42
	4,3	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,4
	4,28	3,42	3,03	2,8	2,64	2,53	2,44	2,37
	4,26	3,4	3,01	2,78	2,62	2,51	2,42	2,36
	4,24	3,39	2,99	2,76	2,6	2,49	2,4	2,34
	4,23	3,37	2,93	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,31
	4,2	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29
	4,18	3,33	2,93	2,7	2,55	2,43	2,35	2,28
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27

Продолжение таблицы 2.

f2	f1
						∞
	19,38	19,4	19,41	19,43	19,45	19,46	19,5
	8,81	8,79	8,74	8,7	8,66	8,62	8,53
		5,94	5,91	5,86	5,8	5,75	5,63
	4,77	4,74	4,63	4,62	4,56	4,5	4,36
	4,1	4,06	4,	3,94	3,87	3,81	3,67
	3,68	3,64	3,57	3,51	3,44	3,38	3,23
	3,39	3,35	3,28	3,22	3,15	3,08	2,93
	3,18	3,14	3,07	3,01	2,94	2,86	2,71
	3,02	2,98	2,91	2,85	2,77	2,7	2,54
	2,9	2,85	2,79	2,72	2,65	2,57	2,4
	2,8	2,75	2,69	2,62	2,54	2,47	2,3
	2,71	2,67	2,6	2,53	2,46	2,38	2,21
	2,65	2,6	2,53	2,46	2,39	2,31	2,13
	2,59	2,54	2,48	2,4	2,33	2,25	2,07
	2,54	2,49	2,42	2,35	2,28	2,19	2,01
	2,49	2,45	2,38	2,31	2,23	2,15	1,96
	2,46	2,41	2,34	2,27	2,19	2,11	1,92
	2,42	2,38	2,31	2,23	2,16	2,07	1,88
	2,39	2,35	2,28	2,2	2,12	2,04	1,84
	2,37	2,32	2,25	2,18	2,1	2,01	1,81
	2,34	2,3	2,23	2,15	2,07	1,98	1,78
	2,32	2,27	2,2	2,13	2,05	1,96	1,76
	2,3	2,25	2,18	2,11	2,03	1,94	1,73
	2,28	2,24	2,16	2,09	2,01	1,92	1,71
	2,27	2,22	2,15	2,07	1,99	1,9	1,69
	2,25	2,2	2,13	2,06	1,97	1,88	1,67
	2,24	2,19	2,12	2,04	1,96	1,87	1,65
	2,22	2,18	2,1	2,03	1,94	1,85	1,64
	2,21	2,16	2,09	2,01	1,93	1,84	1,62
	2,12	2,08		1,92	1,84	1,74	1,51
	2,04	1,99	1,92	1,84	1,75	1,65	1,39
	1,96	1,91	1,83	1,75	1,66	1,55	1,25
∞	1,88	1,83	1,75	1,67	1,57	1,46

Примечание: значения для промежуточных величин f1 определяются путём линейной экстраполяции.

Варианты заданий

Варианты заданий, генерируемые программой

1) Dn = -0.48·C - 0.003·C² (и 11-й вариант)

2) Dn = -0.48·C - 0.01·C² (и 12-й вариант)

3) Dn = - 0.48·C (и 13-й вариант)

4) Dn = -0.1·C² (и 14-й вариант)

5) Dn = -0.6·C (и 15-й вариант)

6) Dn = 0.07·C (и 16-й вариант)

7) Dn = -0.3·C - 0.01·C² (и 17-й вариант)

8) Dn = -0.3·C (и 18-й вариант)

9) Dn = -0.5·C (и 19-й вариант)

10) Dn = -0.07·C² (и 20-й вариант)

где C – концентрация оксида бора (III) и Dn – разность показателей преломления кварцевого и боросиликатных стекол.

Максимальное отклонение от истинных значений 10%.

Пример выполнения задания

C(B2O3) dn

5.0 -3.25 -3.25 -3.25 -3.25

6.5 -4.03 -4.03 -4.03 -4.03

8.0 -4.83 -4.83 -4.83 -4.83

9.5 -5.64 -5.64 -5.64 -5.64

11.0 -6.47 -6.47 -6.47 -6.47

12.5 -7.31 -7.31 -7.31 -7.31

14.0 -8.16 -8.16 -8.16 -8.16

15.5 -9.03 -9.03 -9.03 -9.03

17.0 -9.91 -9.91 -9.91 -9.91

18.5 -10.8 -10.8 -10.8 -10.8

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

МЕТОДИКА РАСЧЕТА УСЛОВИЙ ПОЛУЧЕНИЯ МЕТОДОМ MCVD ЗАГОТОВОК С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЧАСТЬЮ ИЗ БОРОСИЛИКАТНОГО СТЕКЛА

Задаются:

- требуемые параметры заготовки: диаметр центральной части – d мм (например, 7,3 мм) и разность показателей преломления кварцевого и боросиликатного стекол - Dn (-7,7×10^-3);

- уравнение регрессии Dn = f(C_B2O3)

(например, Dn = -0,12-0,51×С_B2O3+0,00611×C_B2O3²);

- условия проведения процесса: температура барботеров – t (21⁰C), поток О₂ через барботер с SiCl₄ – V_O2-SiCl4 (430,5 мл/мин), скорость перемещения горелки – V_гор. (21 см/мин), выход осаждающихся оксидов SiO₂ и B₂O₃ – K_p (51,6%);

- наружный диаметр опорной кварцевой трубки - D мм (20 мм) и толщина стенки – h мм (2 мм);

- коэффициент испарения кварца во время процесса - К_исп. (5%).

Вычисляются:

- поток О₂ через барботер с BBr₃ – V_O2-BBr3;

- число осаждаемых слоев - N;

- ожидаемый диаметр заготовки – d_заг..

Ниже приведены методика расчета, расчетные формулы и пример расчета для вышеуказанных параметров.

1. Определение давления насыщенных паров SiCl₄ и BBr₃ при температуре барботеров t (21⁰С):

P_SiCl4 = 197,4 мм рт.ст.

P_BBr3 = 54,78 мм рт.ст.

1. Из уравнения регрессии вычисляется мольная концентрация С_BBr3, которая в данном примере равна 19,3 % мол.
2. Площадь осажденного боросиликатного стекла в заготовке должна быть

1. Перевод мольной концентрации С_B2O3 в весовую (массовую) С ^‘_B2O3:

где M_SiO2 и M_B2O3 – молекулярные веса SiO₂ и B₂O₃, равные соответственно 60,1 и 69,6.

1. Плотность боросиликатного стекла :

г/см³,

где _SiO2 и _B2O3 – плотности кварцевого и борного стекол, равные соответственно 2,2 г/см³ и 1,83 г/см³.

1. Количество боросиликатного стекла, осажденного в процессе на длине V_гор.:

P=S_ст. V_гор. × =0,4183×21×2,12=18,62 г.

1. Скорость поступления SiCl₄ в опорную трубку вычисляется по уравнению Менделеева-Клапейрона:

где P_SiCl4 – давление насыщенных паров SiCl₄ (мм Hg) при температуре барботеров Т, V_O2-SiCl4 – заданный поток несущего газа (кислорода) через барботер с SiCl₄ (мл/мин), P₀ и Т₀ – нормальные давление и температура равные соответственно 760 мм Hg и 273,1⁰С, R - универсальная газовая постоянная равная 62360 (мм рт.ст.*мл)/(моль*К), - коэффициент насыщения несущего газа парами SiCl₄, принимаемый равным 1.

8. Скорость поступления паров BBr₃ в опорную трубку, необходимая для обеспечения требуемой концентрации B₂O₃ в стекле и при условии 100% выхода реакций окисления SiCl₄ и BBr₃:

мол/мин,

где m_SiO2=m_SiCl4.

9. Поток кислорода через барботер с BBr₃, обеспечивающий вышеуказанную скорость поступления паров BBr₃:

мл/мин, где обозначения аналогичны п.7, а - коэффициент насыщения кислорода парами BBr₃, принимаемый равным 1.

1. Скорость осаждения боросиликатного стекла за 1 проход горелки:

г/прох., где m = 0,5 m согласно стехиометрическим коэффициентам реакции окисления BBr₃.

1. Число проходов горелки определяется как:

проходов.

1. Площадь опорной трубки с учетом коэффициента испарения кварца при осаждении слоев и «схлопывания» трубки в штабик-заготовку:

1. Общая площадь заготовки:

1. Расчетный диаметр заготовки:

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТОВ

Вариант	d, мм	-Dn´10^3	t, ^0C	VO2-SiCl4 мл/мин	Vгор. см/мин	Кр, %	D, мм	h, мм	Кисп.,%
1.	7,0	8,0	21,0	400,0	20,0	50,0	20,0	2,0	5,0
2.	6,5	8,5	21,0	300,0	21,0	52,0	20,0	2,0	4,0
3.	6,0	9,0	23,0	250,0	20,0	48,0	20,0	2,0	4,0
4.	7,5	7,0	21,0	350,0	21,0	50,0	20,0	2,0	5,0
5.	8,0	6,5	20,0	400,0	20,0	52,0	20,0	2,0	6,0
6.	8,5	6,0	18,0	450,0	18,0	55,0	25,0	2,5	7,0
7.	9,0	5,5	18,0	500,0	16,0	57,0	25,0	2,5	8,0
8.	7,5	8,0	22,0	300,0	21,0	50,0	25,0	3,0	6,0
9.	8,0	8,0	25,0	250,0	25,0	49,0	20,0	2,0	5,0
	8,5	7,5	21,0	350,0	20,0	47,0	20,0	2,0	4,0

Уравнение регрессии задается согласно полученному выражению в соответствии с вариантом в предыдущем разделе. Вышеприведенные значения вводятся в таблицу 1 программы "Storages. exe." и вычисляются значения V_O2-BBr3, N и d_заг., необходимые оператору для проведения процесса получения заготовки.

Дата добавления: 2015-03-29