Основные законы электрических цепей

Теоретические сведения

Установившийся и переходный процесс в цепи. Состояние цепи. Электромагнитный процесс в цепи может протекать по-разному. Следовательно, по-разному могут изменяться во вре­мени физические величины, посредством которых отображает­ся процесс: заряд q(t),ток i(t), напряжение u(t)ЭДС е(t),потокосцепления самоиндукции (t)и взаимной самоиндукции (t).

В цепях различают два основных вида процессов: устано­вившиеся и переходные.

Процесс в цепи называют установившимся, если величины, характеризующие процесс:

— остаются постоянными во времени; цепи, в которых имеет место такой процесс, называют цепями постоянного тока;

— изменяются во времени как периодические функции; цепи, в которых имеет место такой процесс, называют цепями несинусоидального тока;

— изменяются во времени как гармонические функции времени (частный случай периодических функций времени); цепи, в которых имеет место такой процесс, называют цепями синусоидального тока.

Типовые временные графики изменения, например тока в ветви цепи, при установившемся процессе показаны на рис. 13

.

Процесс в цепи называют переходным, если величины, ха­рактеризующие его, изменяются во времени не как периоди­ческие (гармонические) функции.

Некоторые временные графики изменения тока в ветви цепи при переходном процессе показаны на рис. 14.

Для одних электротехнических устройств, машин и систем нормальным является режим работы, при котором в их цепях протекают установившиеся электромагнитные процессы (на­пример, для систем перекачки топлива, обогрева, освещения и т. д.); для других нормальным является режим работы, при котором в их цепях протекают переходные электромагнитные процессы (например, для систем автоматического управления полетом воздушного судна).

Включение и выключение си­стем, предназначенных для работы при установившихся процессах в их цепях, сопровождается возникновением в них переходных процессов, которые учитываются при проектировании и эксплуатации систем. Однако, кроме этих переходных процессов, в таких системах из-за различных слу­чайных причин (обрыв проводов, короткие замыкания в це­пях, внезапное изменение характеристик элементов) возни­кают переходные процессы, которые могут иметь нежелательные последствия для системы. Во время таких переходных процессов напряжения и токи на отдельных участках цепи в несколько раз превышают их значения при установившихся процессах, что представляет опасность для системы и обслу­живающего персонала.

Количественная оценка установившегося или переходного процесса в цепи производится на основе численных значений величин q(t), i(t), u(t), (e(t)), (t) и (t).Совокупность численных значений, которые принимают переменные, харак­теризующие процесс в цепи, в данный момент времени или в данном интервале есть состояние цепи в данный момент времени или в данном интервале времени.

Электромагнитные процессы в цепях развиваются и протекают в соответствии с действием трех групп законов:

— законов, характеризующих процесс в цепи в целом — законов равновесия процессов в цепи;

— законов и зависимостей, присущих элементам цепи;

— законов коммутации цепи.

Эти законы являются объективными законами природы, не зависящими от воли и сознания людей. Их познание и рас­крытие форм математической записи открыло возможности для построения научной теории электрических цепей, для разработки методов анализа, синтеза, оптимизации и иденти­фикации цепей и для определения путей эффективного исполь­зования цепей в практике.

При действии законов электрических цепей реализуется строго определенная целевая функция электрических цепей.

Законы, характеризующие процесс в цепи в целом (зако­ны равновесия процессов в цепи). Такими законами являются законы Кирхгофа для токов в узлах цепи и для напряжений на элементах контура цепи.

Закон Кирхгофа для токов в узлах цепи — алгебраическая сумма мгновенных значений токов в любом узле цепи в лю­бой момент времени t равна нулю:

,

где n — число ветвей, инцидентных рассматриваемому узлу цепи;

(t) — мгновенное значение тока в k-й ветви, инцидентной

рассматриваемому узлу;

— коэффициент, равный ±1; = 1, если положитель­ное направление выбрано к узлу, и = — 1, если оно выбрано от узла, или наоборот.

Закон Кирхгофа для напряжений на элементах контура цепи рассматривается в двух формулировках:

— алгебраическая сумма мгновенных значений напряже­ний на элементах любого контура в любой момент времени т равна нулю

,

где n— число элементов, включая источники электроэнергии, в рассматриваемом контуре;

(t) — мгновенное значение напряжения на k-м элементе контура, включая источники электроэнергии;

— коэффициент, равный ±1; = 1, если положительное направление совпадает с выбранным направлением обхода контура, и = — 1, если оно не совпадает;

— алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах любого контура в любой момент времени t равна алгебраической сумме ЭДС источников элек­троэнергии, имеющихся в контуре:

,

где — число пассивных элементов в рассматриваемом кон­туре;

— число источников электроэнергии в рассматриваемом контуре;

(t) — мгновенное значение напряжения на к-м пассивном элементе контура;

— мгновенное значение ЭДС k-го источника электро­энергии;

— коэффициент, равный ±1; = 1, если выбранное положительное направление или совпадает с направлением обхода контура, и = —1, если оно не совпадает.

Эти законы справедливы для процессов в любых цепях — линейных и нелинейных. Они действуют как при установившемся, так и при переходном процессе в цепи.

Системы независимых узлов и независимых контуров схемы замещения цепи. При математическом моделировании про­цесса в цепи законы Кирхгофа применяют в схеме замещения цепи. В общем случае схема замещения цепи может содержать p ветвей и q узлов.

Закон Кирхгофа для токов применяют к системе из q — 1 независимых узлов, что позволяет составить систему из q—1 независимых уравнений для токов в узлах цепи. Уравнение для токов того узла, который не рассматривается, является зависимым от уравнений для токов других узлов, т. е. оно может быть получено из них с помощью алгебраических опе­раций. Например, в схеме замещения (рис. 15) содержится два узла и из них независимым является только один; если в качестве такого узла выбрать узел l, то на основании за­кона Кирхгофа для токов в узле при выбранных положитель­ных направлениях токов в инцидентных ветвях получим:

+ + = 0

для узла 2 оно будет тем же (зависимое уравнение).

Закон Кирхгофа для напряжений применяют к системе из p— (q— 1) независимых контуров, что позволяет составить систему из р— (q — 1) независимых уравнений для напряже­ний в контурах цепи. Уравнения для напряжения тех контуров, которые не рассматриваются, являются зависимыми, т. е. они могут быть получены из составленных уравнений с помощью алгебраических операций. Например, в схеме замещения (см. рис. 15) имеются три контура и из них независимыми являются только 3— (2— 1), т. е. два. Если в качестве таких контуров выбрать I и II, то на основании закона Кирхгофа для напряжений в контуре при выбранных положительных на­правлениях напряжений и направлении обхода контуров по­лучим:

— = 0;

+ — = 0

Для схем замещения цепей со сложной структурой выбор систем независимых контуров обычно осуществляется следую­щим образом. Схема замещения ставится в соответствие граф цепи (см. рис. 12, а).

В планарных графах одна из систем независимых конту­ров может быть образована каноническими контурами. Если граф расположить на плоскости так, чтобы ветви пересека­лись только в узлах (рис. 16), то вся плоскость окажется раз­битой на ячейки, число которых равно числу независимых контуров схемы замещения. Система контуров, ограниченная этими ячейками, является независимой и называется канони­ческой.

В непланарных графах один из методов установления не­зависимых контуров основан на последовательном добавлении к дереву максимальной длины ветвей до восстановления пер­воначального графа. Последовательное добавление ветвей приводит к последовательному выделению контуров, образую­щих систему независимых контуров. Операция выделения не­зависимых контуров заканчивается восстановлением перво­начального графа. Она иллюстрируется примером, приведен­ным на рис. 17.

Законы и зависимости, присущие элементам цепи. Элек­трическая цепь может быть собрана из различных линейных и нелинейных элементов. Их принято подразделять на резистивные, емкостные и индуктивные.

К резистивным относят элементы, действие которых в цепи определяется ВАХ элементов, к емкостным — элементы, дей­ствие которых в цепи определяется КВХ элементов, к индук­тивным — элементы, действие которых в цепи определяется Вб.АХ элементов.

В любом элементе цепи — нелинейном и линейном — ток и заряд, переносимый через поперечное сечение элемента, свя­заны соотношением

(4)

В индуктивном элементе цепи — нелинейном и линейном, например, в катушке индуктивности, напряжение и потокосцепление самоиндукции связаны законом электромагнитной индукции:

(5)

Для элемента с взаимной индуктивностью закон электро­магнитной индукции, связывающий напряжение и потокосцепление взаимной индукции, записывается в виде:

Другие законы и зависимости, присущие элементам цепи, удобно раскрыть на основе рассмотрения энергетических про­цессов в элементах.

Электромагнитное поле источника электроэнергии, обеспе­чивая протекание электромагнитного процесса в цепи и ее элементах, совершает работу. Эта работа идет на изменение энергии элементов цепи.

Пусть схема замещения цепи состоит из источника элек­троэнергии и сопротивления, которому приписана нелинейная или линейная ВАХ (рис. 18, а). Пусть силы электрического поля источника за время dt перенесут в сопротивлении от точ­ки 1 к точке 2 частицы с зарядом dq. Источник при этом со­вершит работу dq, где — напряжение на сопротивлении (работа, отнесенная к единице положительного заряда). С учетом формулы (4) ее можно записать в виде idt. Тогда работа, которую совершит источник в сопротивлении за время от 0 до t, будет

В результате этой работы энергия в сопротивлении возрастет на величину . Сопротивление необратимо преобразует эту энергию в тепловую, механическую, световую и другие виды энергии. Оно может только потреблять энергию от сети. Скорость потребления энергии в сопротивлении

есть мгновенная мощность в сопротивлении.

Если сопротивление является линейным, т. е. ему приписа­на линейная ВАХ, то связь между напряжением на сопротив­лении и током в нем выражается в любой момент времени I законом Ома:

В соответствии с формулой (6) при R = const

Рассмотренные энергетические процессы в сопротивлении показывают, что величина R, выступающая в формуле (6) как коэффициент пропорциональности, т. е. как параметр цепи, имеет очевидный физический смысл — она характеризует спо­собность резистивного элемента цепи при прохождении по не­му тока поглощать (преобразовывать) электроэнергию в дру­гие виды энергии, причем этот процесс необратим.

В электрических цепях различают сопротивление при по­стоянном токе и активное сопротивление при переменном токе. Сопротивление переменному току, т. е. активное сопротивле­ние больше, чем сопротивление того же элемента постоянному току (из явления поверхностного эффекта — явления неравно­мерного распределения плотности переменного тока по сече­нию проводника).

Пусть схема замещения цепи состоит из источника элек­троэнергии и емкости, которой приписана нелинейная или ли­нейная КВХ (рис. 18,6). Пусть силы электрического поля ис­точника за время dt сосредоточивают на каждой из пластин емкости частицы с зарядом dq противоположного знака. Ис­точник при этом совершает работу , где — напряжение между пластинами емкости (работа, отнесенная к единице положительного заряда). С учетом формулы (4) ее можно записать в виде . Тогда, работа, которую совершит источ­ник за время от 0 до t, будет:

В результате энергия электрического поля в среде между пластинами емкости увеличится на величину . Ем­кость может как запасать энергию, беря ее от источника (при приросте зарядов на пластинах емкости), так и возвращать ее обратно источнику (при убыли зарядов на пластинах ем­кости). Скорость изменения энергии электрического поля ем­кости

есть мгновенная мощность в емкости.

Если емкость является линейной, т. е. ее КВХ — прямая, то связь между напряжением на емкости и зарядом выра­жается в любой момент времени t зависимостью

C=const (7)

В соответствии с формулой (7) при С = const связь между напряжением на емкости и током через емкость в любой мо­мент времени t выражается зависимостью

энергия, запасенная в электрическом поле емкости к моменту времени t, записывается в виде

или

(8)

Рассмотренные энергетические процессы в емкости пока­зывают, что величина С, выступающая в формуле (7) как ко­эффициент пропорциональности, т. е. как параметр цепи, имеет вполне определенный физический смысл — она харак­теризует способность емкостного элемента цепи иметь элек­трическое поле с определенной энергией.

Пусть схема замещения цепи состоит из источника элек­троэнергии и индуктивности, которой приписана нелинейная или линейная Вб.АХ (рис. 18, в). Пусть силы электрического поля источника за время dt перенесут в индуктивности от точки 1 к точке 2 частицы с зарядом dq. Источник при этом содершит работу , где — напряжение на индуктивности (работа, отнесенная к единице положительного заряда). C учетом формулы (5) ее можно записать в виде: . Тогда работа, которую совершит источник за время от 0 до t, будет

В результате энергия магнитного поля в среде вокруг индуктивности увеличится на величину .

Индуктивность может как запасать энергию, беря ее от источника (при увеличении тока в индуктивности), так и возвращать ее обратно источнику (при уменьшении тока в индуктивности). Скорость изменения энергии магнитного поля индуктивности

естьмгновенная мощность в индуктивности.

Если индуктивность является линейной, т. е. ее Вб.АХ — прямая, то связь между потокосцеплением и током в индук­тивности выражается в любой момент времени t зависи­мостью

(9)

При L = const связь между напряжением на индуктивно­сти и током через индуктивность в любой момент времени t выражается формулой

а энергия, запасенная в магнитном поле индуктивности к моменту времени t, запишется в виде

Или

(10)

Рассмотренные энергетические процессы в индуктивности показывают, что величина L, выступающая в формуле (9) как коэффициент пропорциональности, т. е как параметр це­пи, имеет вполне определенный физический смысл — она ха­рактеризует способность индуктивного элемента иметь элек­трическое поле с определенной энергией.

Основные законы и зависимости, присущие элементам це­пи, сведены в табл. 2

Законы коммутации электрических цепей. Причиной воз­никновения электромагнитного процесса в электрической цепи является ее коммутация, т. е. любое изменение условий ра­боты элементов цепи (включение и выключение источников электроэнергии, внезапное изменение характеристик элемен­тов, обрыв или короткое замыкание ветвей и т. д.).

При коммутации цепи энергии, запасенные в электриче­ском поле емкости и магнитном поле индуктивности ,не могут изменяться скачком; они изменяются в цепи только непрерывно. Так как энергии этих полей изучаются посредством физических величин — заряда q на пластинах емкости (формула 8) и потокосцепления самоиндукции (формула 10) или взаимной индукции, то и величины q и при коммутации цепи также не могут изменяться скачком; они могут изменяться во времени только непрерывно.

Законы коммутации электрических цепей формулируются следующим образом:

— в первый момент после коммутации цепи заряд на ем­кости q (0)остается таким же, каким он был до коммутации q (-0), а затем он начинает изменяться плавно от этого зна­чения:

q (0)= q (-0);

— в первый момент после коммутации цепи потокосцепление самоиндукции взаимной индукции) остается таким же, каким оно было до коммутации , а затем оно начинает изменяться плавно от этого значения:

= .

В линейной цепи с постоянными параметрами, где имеютместо линейные зависимости

и

этизаконы записываются в виде:

т е. при коммутации линейной цепи напряжения на емкостях токи в индуктивностях не могут изменяться скачком. Тео­рия цепей допускает, что все остальные напряжения и токи в элементах цепи могут при коммутации цепей изменяться скачком.

Законы коммутации цепи позволяют математически ото­бразить состояние цепи в первый момент времени после ее коммутации — начальное состояние цепи; они позволяют ма­тематически записать начальные условия.

Целевая функция, отвечающая законам электрических це­пей. При построении электромагнитного процесса в цепи рас­пределение токов и напряжений между элементами цепи в любой момент времени осуществляется в соответствии с за­конами электрического равновесия процессов — законами Кирхгофа, законами и зависимостями, присущими элементам цепи.

При таком распределении токов и напряжений между эле­ментами цепи в любой момент времени протекания устано­вившегося или переходного процесса сумма мгновенных мощностей всех N элементов цепи всегда минимальна:

Это выражение является формой математической записи целевой функции электрической цепи. Оно справедливо для линейных и нелинейных цепей.

Дата добавления: 2015-03-31