Основные даты и события. 1 страница

Т.обр.

., то есть

17) Арифметические свойства предела функции.

Теорема: Если существуют и , то:

1). .

2). = ( - постоянная).

3). * .

4). , если .

Доказательства:

Доопределив по непрерывности функции и в точке , положив = и = (это изменение функций не влияет на их пределы). В точке будут непрерывны функции , , , (так как = . Поэтому в силу равенства = получим:

1). = .

2). = =

3). = * .

4). = .

18) Свойства предела функции: единственность предела; ограниченность функции, имеющей предел.

19) Свойства предела функции: предельные переходы в неравенства.

20) Односторонние пределы.

21) Первый замечательный предел.

Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим

или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0; ), верно для любого из интервала (- ; ) в силу четности функций, входящих в это неравенство.

Докажем, что

() при

А раз и , то .

Кроме того: = 1

22) Второй замечательный предел.

.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+ при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+ , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:

	1/2	1/3	1/4	0.01	0.001
	2.25	2.37…	2.44…	2.7047…	2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

Доказательство:

Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:

По определению Гейне:

=

=

Вычислим . Рассмотрим = = .

По определению Гейне рассмотрим .

*

То есть = = = .

Также = = = =

1

23) Б.м. функции и их свойства.

Определение: бесконечно малая функция при , если .

Определение: Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда:

1) и эквивалентны при ( ~ , ), если .

2) , - бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .

( = (), ), если .

4). имеет -й порядок малости относительно при , если .

5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .

Примеры:

1). при .

2). (, -бесконечные малости одного порядка).

3). ( )

1 0

4). …

()- 2-й порядок малости относительно при .

5).

- произвольная.

24) Б.б. функции и их связь с б.м. функциями.

25) Сравнение б.м. функций. Примеры.

Определение: бесконечно малая функция при , если .

Определение: Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда:

1) и эквивалентны при ( ~ , ), если .

2) , - бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .

( = (), ), если .

4). имеет -й порядок малости относительно при , если .

5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .

Примеры:

1). при .

2). (, -бесконечные малости одного порядка).

3). ( )

1 0

4). …

()- 2-й порядок малости относительно при .

5).

- произвольная.

26) Эквивалентные б.м. функции (таблица). Теорема об эквивалентных б.м. функциях.

Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.

Теорема (критерий эквивалентности):

Пусть , -бесконечно малые функции при .

- . Тогда ~ при .

Доказательства:

(). Пусть ~ , , то есть .

=0,

то есть .

(). ., .

=1.

Теорема (о замене на эквивалентные):

Пусть функция ~ , ~ при и существует , тогда существует и = . То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.

Дата добавления: 2015-04-23