Алгоритм Тоома Кука

Быстрое преобразование Фурье

Будем считать, что наш многочлен имеет степень n = 2^k. Если нет, дополним старшие коэффициенты нулями до ближайшей степени двойки.
Основная идея БПФ:
Пусть:
A (x)= a₀ + xa₂ + x²a₄ + ... + x^{n / 2 - 1} a_{n - 2} (четные коэффициэнты P)
B (x)= a₁ + xa₃ + x²a₅ + ... + x^{n / 2 - 1} a_{n - 1} (нечётные коэффициенты P).
Тогда P (x)= A (x²)+ x ⋅ B (x²).
Теперь применим принцип «разделяй и властвуй»: чтобы посчитать значения P в n точках (ω ₀,ω ₁, ...), посчитаем значения A и B рекурсивно в n / 2 точках (ω ₀,ω ₂, ...). Теперь значение P (ω _i) восстановить достаточно просто:
P (ω _i)= A (ω _2i)+ω _i ⋅ B (ω _2i)
Если обозначить за ξ _i =ω _2i точки, в которых мы считаем значения многочлена степени n / 2, формула преобразится:
P (ω _i)= A (ξ _i)+ω _i ⋅ B (ξ _i)
Её уже можно загонять в программу, не забыв что i принимает значения от 0 до n - 1, а ξ _i определено лишь от 0 до n / 2 - 1. Вывод — надо будет взять i по модулю n / 2.
Время работы выражается рекуррентной формулой T (n)= O (n)+ 2T (n / 2). Это довольно известное соотношение и оно раскрывается в O (n ⋅log ₂n) (грубо говоря, глубина рекурсии — log ₂n уровней, на каждом уровне суммарно по всем вызовам выполняется O (n) операций).

Исходными данными служат два положительных длинных числа [n, u] и [n, v]; результатом - их произведение [2n, uv]. Используются четыре стека U, V, W и C, в которых при выполнении алгоритма будут храниться длинные числа, и пятый стек, содержащий коды временно приостановленных операций (имеется всего три кода, и для их представления можно воспользоваться малыми целыми числами). Массивы q и г целых чисел имеют индексы от 0 до 10; необходимо выделить память для этих двух массивов
и для еще нескольких временных переменных, упомянутых в алгоритме.

1. (Начальная установка.) Сделать все стеки пустыми. Присвоить K значение 1, q₀ и q₁ - значение 16, r₀ и r₁ - значение 4, Q - значение 4 и R - значение 2.

2. (Построение таблицы размеров). Пока K < 10 и q_K-1 + q_K ≥ n, выполнять следующие вычисления. Изменить К на К+1, Q - на Q + R; если (R+1)₂ ≤ Q, то изменить R на R+1; установить q_K равным 2^Q и r_k равным 2^R. Если цикл оканчивается из-за K = 10, то остановиться, выдав сообщение об ошибке - число битов n слишком велико, массивы q и г переполнились. В противном случае присвоить k значение K. Поместить [q_K + q_K-1, v] и за ним [q_K + q_K-1, n] в стек C (вероятно, потребуется добавить к [n, u] и [n, v] слева нули). Поместить в управляющий стек код стоп.

3. (Главный внешний цикл.) Пока управляющий стек не пуст, выполнять шаги с 4-го по 18-й. Если на этом шаге управляющий стек окажется пустым, то остановиться с сообщением об ошибке; в управляющем стеке должен быть по крайней мере один элемент.

4. (Внутренний цикл разбиения u и v.) Пока k > 1, выполнять шаги с 5-го по 8-й,

5. (Установка параметров разбиения.) Установить k равным k - 1, s равным q_k, t равным r_k и p равным q_k-1 + q_k.

6. (Разбиение верхнего элемента стека C.) Длинное число [q_k + q_k+1, u] на вершине C следует рассматривать как t + 1 чисел длиной s битов каждое. Разбить [q_k + q_k+1, u] на длинные числа [s, U_t], [s, U_t-1],..., [s, U₁], [s, U₀]. Эти t + 1 чисел являются коэффициентами многочлена степени t, который следует вычислить в точках 0, 1,..., 2t - l, 2t no правилу Горнера. Для i = 0, 1,..., 2t - l, 2t вычислить [p, X_i] по формуле
(...([s, U_t]·i +... + [s, U₁]·i + [s, U₀]
и сразу поместить [p, X_i] в стек U. Для выполнения умножений можно использовать подпрограмму умножения длинных чисел на короткие; никакой промежуточный или окончательный результат не потребует более p битов. Удалить [q_k+q_k-1, u] из стека C.

7. (Продолжение разбиения.) Выполнить над числом [m, v], находящимся сейчас на вершине стека C, ту же последовательность действий, что на шаге 6; полученные числа [p, Y₀],...,[p, Y_2t] поместить в стек V в порядке получения. Не забудьте удалить вершину стека C.

8. (Заполнение заново стека C.) Попеременно удалять 2t раз) вершины стеков V и U и помещать эти значения в стек C. В результате значения, вычисленные на шагах 6 и 7, будут помещены, чередуясь, в стек C в обратном порядке. После выполнения этого перемешивания верхняя часть стека C, рассматриваемая снизу вверх, будет иметь вид
[p, Y_2t], [p, X_2t],..., [p, Y₀], [p, X₀],
на вершине будет [p, X₀]. Поместить в управляющий стек один код операции интерполировать и 2t кодов операции сохранять и вернуться к шагу 4.

9. (Подготовка к интерполяции.) Присвоить k значение 0. Выбрать два верхних элемента стека C и поместить их в обычные переменные u и v. Оба числа u и v будут состоять из 32 битов. Используя некоторую другую подпрограмму умножения, вычислить [64, w] = [64, uv]. Это умножение можно выполнить аппаратно или с помощью подпрограммы, как вы найдете нужным.

10. (Интерполяция при необходимости.) Выбрать вершину управляющего стека в переменную A. Если значение A есть интерполировать, то выполнить шаги с 11-го по 16-й, в противном случае перейти к шагу 17.

11. (Организация интерполяции.) Поместить [m, w] в стек W (это может быть значение, полученное на шаге 9 или 16). Присвоить s значение q_k, t - значение r_k, р - значение q_k-i + q_k. Обозначим верхнюю часть стека W, рассматриваемую снизу вверх, как
[2р, Z₀], [2p, Z₁],..., [2р, Z_2t-1], [2p, Z_2t],
последнее из этих значений - на вершине стека.

12. (Внешний цикл деления Z.) Выполнять шаг 13 для i = 1, 2, 2t.

13. (Внутренний цикл деления Z.) Присвоить [2p, Z_j] значение ([2p, Z_j] - [2p, Z_j-1])/i для j =2t, 2t - 1,..., i + 1, i. Все разности будут положительными, а все деления выполняются нацело, т. е. без остатка.

14. (Внешний цикл умножения Z.) Выполнять шаг 15 для i = 2t-1, 2t-2,..., 2, 1.

15. (Внутренний цикл умножения Z.) Заменить [2р, Z_j] на [2р, Z_j] - i·[2р, Zj+1] для j = i, i+1,..., 2t-2, 2t-1. Все разности будут положительными, и все результаты поместятся в 2p битов.

16. (Образование нового w и начало нового цикла.) Присвоить значение многочлена
(... ([2р, Z_2t]·2^s + [2р, Z_2t-1])·2^s +... + [2р, Z₁])·2^s + [2р, Z₀]
переменной [2(q_k + q_k+1), w]. Этот шаг можно выполнять, используя только сдвиги и сложения длинных чисел. Заметьте, что используется та же переменная [m, w], что и на шаге 9. Удалить [2p, Z_2t],..., [2p, Z₀] из стека W. Присвоить k значение k + 1 и вернуться к шагу 10.

17. (Проверка окончания.) Если A имеет значение стоп, то в переменной [m, w], уже вычисленной на шаге 9 или 16, находится результат алгоритма. В этом случае окончить работу.

18. (Сохранение значения.) Значением A должен быть код сохранить (если это не так, завершить алгоритм по ошибке). Присвоить k значение k + 1 и поместить [q_k + q_k-1, w] в стек W. Это значение w, только что вычисленное на шаге 9 или 16. Теперь вернуться к шагу 3.

Дата добавления: 2015-04-23