Исследование электростатических полей методом моделирования

Цель работы. Построить качественную картину эквипотенциальных линий некоторых электростатических полей. Познакомиться с методом моделирования полей.

Приборы и оборудование: генератор, магазин сопротивлений, фотокювета, подставка из оргстекла, бумага (миллиметровая или в клетку), провода, макет № 4, универсальный измеритель (мультиметр).

Метод моделирования

Электростатическое поле в каждой точке характеризуется вектором напряженности и потенциалом φ. Экспериментально с помощью вольтметра можно измерить потенциалы электростатического поля в различных точках и построить соответственно поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности).

Непосредственное изучение электростатического поля затруднено, т. к. практически трудно ввести в непроводящую среду измерительные зонды без внесения больших погрешностей при измерении. Кроме того, для измерения разности потенциалов в непроводящей среде необходимы специальные измерители. Поэтому изучение электростатического поля заменяют изучением поля токов. Метод изучения явления путём исследования другого явления, отличного по природе, но аналогичного по описанию, называют методом моделирования.

Подобие электростатического поля в диэлектрике полю постоянного тока в проводящей среде при одинаковой конфигурации электродов следует из сопоставления их свойств:

1. Поле в проводящей однородной среде без источников сторонних сил потенциально, как и электростатическое поле.

2. Имеется подобие и между граничными условиями. На границе раздела диэлектрика тангенциальная и нормальная составляющие вектора напряжённости электростатического поля подчиняются условиям:

В проводящей среде непрерывность тангенциальных составляющих следует из потенциальности поля тока. Граничные условия для нормальных составляющих следуют из уравнения непрерывности и закона Ома , где − вектор плотности тока, σ – удельная электропроводность среды.

Применение электролита в качестве проводящей среды основано на том, что слабые токи в растворах электролита можно рассчитывать по закону Ома.

Между такими полями существует математическая аналогия, что обеспечивает успех моделирования. Действительно, уравнение непрерывности имеет вид:

, (2.1)

где − вектор плотности тока; ρ – объемная плотность электрического заряда.

Для стационарного тока в электролите ρ = const, следовательно

. (2.2)

Закон Ома в дифференциальной форме имеет вид:

, (2.3)

где γ – удельная электрическая проводимость среды. Учитывая соотношение

, (2.4)

которое оказывается справедливым и для поля стационарного тока, получаем

. (2.5)

Для однородной изотропной проводящей среды имеем:

или , (2.6)

где ∆ − оператор Лапласа:

. (2.7)

Уравнение (2.6) называется уравнением Лапласа. Потенциал электростатического поля в отсутствие свободных зарядов также подчиняется уравнению Лапласа. Действительно, , но ρ в точках между электрическими зарядами равно нулю, поэтому

. (2.8)

Подставляя выражение (2.4) в формулу (2.8), получаем

, . (2.9)

Тождественность решений уравнений (2.6) и (2.9) при одинаковых граничных условиях обеспечивает математическую основу моделирования.

Современная вычислительная техника позволяет проводить математическое моделирование электростатического поля заряженных тел различной конфигурации с помощью непосредственного вычисления значений величин Е и φ в точках пространства, окружающих заряды.

Экспериментальное исследование электростатического поля удобно проводить с помощью электролитической ванны.

Если проводники поместить в однородную слабо проводящую среду, то конфигурация линий тока совпадает с конфигурацией электростатического поля, созданного неподвижными зарядами, расположенными на этих проводниках. Для упрощения эксперимента исследования проводятся для случая плоского стационарного поля тока.

Применение постоянного тока осложняется процессами электролитической поляризации, вследствие чего возникают электродвижущие силы, что препятствует использованию метода моделирования. Во избежание этого применяют ток небольшой частоты, получая квазистатическое поле токов.

Дата добавления: 2015-03-29