Свойства транспонированных матриц

1). Если E-единичная матрица, то E=E^T.

2). Двукратное транспонирование не изменяет матрицу (A^T)^T=A.

3). Транспонирование суммы матриц равносильно сложению транспонированных матриц:
(A+B)^T=A^T+B^T

4).Транспонирование произведения матриц равносильно умножению транспонированных матриц: .

5). Транспонирование обратной матрицы равносильно вычислению обратной к транспонированной матрице:
(A^-1)^T=(A^T)^-1.

6). Если транспонированная матрица A^T совпадает с данной матрицей A, то матрица A называется симметрической.

Матрица называется обратной к данной матрице A, если их произведение равно единичной матрице:

Вырожденной квадратной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен нулю. Матрица, определитель которой не равен 0, называется невырожденной.
Для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Для вычисления обратной матрицы к матрице А составим матрицу А* (присоединенную) из алгебраических дополнений матрицы А:

Матрицу транспонируем и каждый элемент разделим на определитель | A |.
Нетрудно показать, что построенная таким образом матрица:

будет обратной к матрице А.

Определитель k-ого порядка, составленный из элементов матрицы A, лежащих на пересечении каких-либо ее k строк и k столбцов, называется минором k-ого порядка матрицы A.

Если матрица A имеет хотя бы один минор r-ого порядка не равный нулю, а все миноры (r+1)-го порядков равны нулю, то r называется рангом матрицы A.

Преобразования, не меняющие ранг матрицы, называются элементарными. К ним относятся:
1). Умножение строки или столбца на число, не равное нулю.
2). Перестановка строк или столбцов местами.
3). Прибавление к элементам одной строки или столбца элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число.
4). Вычеркивание строки или столбца, состоящего из нулей.

Сложение матриц.

Суммой матриц одной и той же размерности называется матрица размерности , каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и B:

Матрицы разных размерностей складывать нельзя.

Свойства сложения матриц.
1. Коммутативность.
A+B=B+A
2. Ассоциативность.
(A+B)+C=A+(B+C)

Дата добавления: 2015-04-24