Вопрос 28.Сингулярное разложение

Вопрос 27.Матрица простой структуры, ее свойства

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица простой структуры-это матрица этого оператора, в ней по диагонали стоят собственные числа.Матрицей простой структуры называются матрицы, которые с помощью преобразования подобия можно привести к диагональному виду. Теорема 4.2. Матрица А является матрицей простой структуры тогда и только тогда, когда она имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2,…, en, отвечающих собственным значениям λ λ λn,,... 1 2соответственно.

Теорема 4.3. Если все собственные значения матрицы А различны, то она является матрицей простой структуры.

Теорема 4.4. Если А-вещественная симметричная матрица, то она подобна диагональной матрице, причем матрица подобия Р может быть выбрана ортогональной (т.е. удовлетворяющей условию P^-1=P^Т).

Сингуля́рное разложе́ние (англ. singular value decomposition, SVD) — это разложение прямоугольной вещественной или комплексной матрицы, применяющееся во многих областях прикладной математики. Сингулярное разложение может быть использовано, например, для нахождения ранга и ядра матриц, псевдообратных матриц, приближения матриц матрицами заданного ранга. Любая матрица порядка , элементы которой — комплексные числа, может быть представлена в следующем виде, называемом сингулярным разложением матрицы :

где — унитарная матрица порядка , — диагональная матрица порядка с неотрицательными вещественными числами на диагонали, — унитарная матрица порядка , а — сопряжённо-транспонированная матрица к .

Под диагональной прямоугольной матрицей здесь понимается матрица такая, что все её недиагональные элементы равны нулю:

если

В частном случае, когда состоит из вещественных чисел, существует сингулярное разложение вида , в котором и — ортогональные матрицы.

Элементы на диагонали матрицы называются сингулярными числами матрицы и определены с точностью до их перестановки. Обычно требуют, чтобы они располагались в матрице в невозрастающем порядке — тогда (но не и ) однозначно определяется по матрице . Столбцы матриц и называются, соответственно, левыми и правыми сингулярными векторами.

Пусть дана матрица:

Одним из сингулярных разложений этой матрицы является разложение , где матрицы , и следующие:

так как матрицы и унитарны ( и , где — единичная матрица), а — прямоугольная диагональная матрица, то есть , если .

Дата добавления: 2015-04-24