Вопрос 30.Метрическое векторное пространство

Норма матрицы

Нормой матрицы называется вещественное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

1. , причём только при ;

2. , где ;

3. ;

4. .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:

для всех .

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.Элементами этого множества являются вектора.

Определение

Метрическое пространство есть множество точек с фиксированной функцией расстояния (также называется метрикой) , где обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек из эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1. (аксиома тождества).

2. (аксиома симметрии).

3. (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть (это вытекает из аксиомы треугольника при ) и расстояние от до такое же, как и от до .

Неравенство треугольника означает, что пройти от до можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти от до , а потом от до .

Дата добавления: 2015-04-24