Система материальных точек

Импульс.

В ньютоновской механике масса материальной точки не зависит от времени , а ускорение , где - скорость точки. Поэтому можно записать:

- II закон Ньютона в дифференциальной форме.

или

Вектор , равный произведению массы материальной точки на ее скорость, называется импульсом материальной точки.

Скорость изменения импульса тела пропорциональна силе, действующей на тело.

, (где -импульс тела, - импульс силы).

Закон изменения импульса.

1. Материальная точка

Изменение импульса материальной точки за малый промежуток времени равно элементарному импульсу за тот же промежуток времени результирующей всех сил, действующих на эту материальную точку.

Импульсом системы материальных точек назовем векторную сумму импульсов всех материальных точек системы

БИЛЕТ 5. Центр масс. Теорема о движении центра масс.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется точка , радиус вектор которой равен отношению суммы произведений масс всех материальных точек системы на их радиусы-векторы к массе всей системы.

,

где и - масса и радиус-вектор -й материальной точки, и - общее число этих точек в системе и ее суммарная масса.

В частности, если радиусы-векторы проведены из центра масс (обозначим их ), то

Таким образом, центр масс- это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиусы-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.

Координаты центра масс системы:

В случае непрерывного распределения массы в системе (например, в случае протяженного тела) радиус-вектор центра масс системы

,

где - радиус-вектор малого элемента системы, масса которого равна , а интегрирование производится по всем элементам системы, то есть по всей ее массе .

Соответственно импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс . Получаем закон движения центра масс:

Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору приложения к системе внешних сил.

Этот закон показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменения скоростей этих частей (например при разрыве снаряда не несколько частей), но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и на скорость ее центра масс.

БИЛЕТ 6. Закон сохранения импульса. Абсолютно неупругий удар.

На замкнутую систему внешние силы не действуют. Поэтому из закона изменения импульса вытекает закон сохранения импульса: Импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

и

где и - масса и скорость -й материальной точки системы, состоящей из n точек.

Соответственно не изменяются также и проекции импульса замкнутой системы на оси декартовых координат инерциальной системы отсчета:

Импульс системы , где - масса всей системы, а - скорость ее центра масс. Поэтому из закона сохранения импульса следует, что при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра масс не изменяется.

Рассмотрим применение закона сохранения импульса к расчету абсолютно неупругого пря­мого центрального удара двух тел. Ударом на­зывается явление изменения скоростей тел на конечные значения за очень короткий промежу­ток времени, происходящее при их столкновениях В процессе удара возникают кратковременные ударные силы взаимодействия между стал­кивающимися телами, причем эти силы во много раз превосходят все внешние силы, действующие на тела. Поэтому в процессе удара систему соударяющихся тел можно приближенно считать замкнутой и применять к ней закон сохранения импульса. Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения называется линией удара. Удар называется прямым, если перед ударом скорости центров масс соударяющихся тел параллельны линии удара. Удар называется цент­ральным, если центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара. Прямой центральный удар называется абсолютно неупругим, если после удара тела движутся как одно целое, т. е. с одной и той же скоростью. Бели скорости тел до удара равны и , а их массы равны и , то в соответствии с законом сохранения импульса общая скорость поступательного движения этих тел после абсолютно неупругого прямого центрального удара равна

При неупругом ударе происходят различного рода процессы в соударяющихся телах (их пластические деформации, трение и др.), в результате которых кинетическая энергия системы частично преобразуется в ее внутреннюю энергию, т. е. происходит диссипация механической энергии системы.

Изменение кинетической энергии системы двух сталкивающихся тел при абсолютно неупругом прямом центральном ударе равно

Для абсолютно неупругого удара:

и (часть механической энергии системы переходит во внутреннюю энергию )

БИЛЕТ 7. Работа. Мощность. Кинетическая энергия. Закон изменения кинетической энергии.

Изменение механического движения тела и, следовательно, его механической энергии происходит в процессе механического действия на рассматриваемое тело со стороны других тел. Мерой этого действия служат соответствующие силы. Поэтому следует говорить об изменении механической энергии тела под влиянием приложенных к нему сил. Для количественного описания такого процесса изменения энергии тела вводят в механике понятие работы силы.

Элементарной работой силы на малом перемещении точки приложения силы называется скалярное произведение на :

=

где и - радиус-вектор и скорость точки , - малый промежуток времени в течение которого сила совершает работу .

Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то

=

где - путь точки за малое время , -угол между силой и элементарным перемещением (или скоростью ) точки , - проекция силы на направление (или ).

Сила не совершает работы в двух случаях:

1). Точка приложения силы неподвижна ( =const, а =0)

2). Угол , то есть сила направлена по нормали к траектории точки ее приложения. .

Если угол острый, то сила движущая, если тупой, то тормозящая.

Согласно правилу скалярного умножения векторов, элементарная работа силы в декартовых координатах равна:

=

Работа, совершаемая силой на конечном перемещении точки ее приложения из положения 1 в положение 2 равна сумме элементарных работ силы на всех малых участках траектории от точки 1 до точки 2. Эта сумма приводится к интегральной:

.

Работа при прямолинейном движении равна: и численно равна площади под графиком.

Работа потенциальной силы на произвольной замкнутой траектории точки ее приложения равна нулю.

Дата добавления: 2015-04-24