Аналіз на чутливість оптимального рішення до варіації коефіцієнтів цільової функції

У п. 7.4 на основі графічного представлення моделі було показано, що при певних значеннях зміни коефіцієнта цільової функції оптимальні значення змінних залишаються незмінними (хоча оптимальне значення Z при цьому змінюється). Повертаючись до цього питання, покажемо, яким чином цікаву для нас інформацію можна отримати з даних, що містяться в оптимальній симплекс-таблиці.

Слід зазначити, що рівняння цільової функції також не використовується в якості ведучого рівняння. Тому будь-які зміни коефіцієнтів цільової функції вплинуть тільки на Z-рівняння результуючої симплекс-таблиці. Це означає, що такі зміни можуть зробити отримане рішення неоптимальним. Наша мета полягає в тому, щоб знайти інтервали змін коефіцієнтів цільової функції, при яких оптимальне значення змінних залишаються незмінними.

Щоб показати, як виконуються відповідні обчислення, допустимо, що дохід, яки отримується з одиниці продукції П₁, змінюється від 3 до 3 + δ₁, де δ₁ може бути як позитивним, так і негативним числом. Цільова функція в цьому випадку приймає наступний вигляд:

Z_max = (3 + δ₁) * х₁ + 4х₂.

Якщо скористатися даними початкової симплекс-таблиці і виконати всі обчислення, необхідні для отримання оптимальної симплекс-таблиці, то останнє Z_max -рівняня буде виглядати наступним чином:

Вільні змінні	Вільні члени	у1	у2
Zmax	12,8 + 2,4 δ1	1,4 + 0,2 δ1	0.2 + 0,6 δ1

Це рівняння (рядок цільової функції) відрізняється від Z - рівнянь до введення δ₁ лише наявністю членів, які містять δ₁. Коефіцієнти при δ₁ рівні коефіцієнтам при відповідних змінних в х₁-рівняні (х₁-рядок) симплекс-таблиці для отримання раніше оптимального рішення:

Вільні змінні Базисні змінні	Вільні члени	у1	у3
х1	2,4	0,2	0,6

Ми розглядаємо х₁-рівняння, так як коефіцієнт саме при цій змінній у виразі для цільової функції в початковій симплекс-таблице змінився на δ₁.

Оптимальні значення змінних залишатимуться незмінними при значеннях δ₁, що задовольняють умову невід’ємності (задача на відшукання максимуму) всіх коефіцієнтів при вільних змінних в Z-рівнянні. Таким чином, повинні виконуватися наступні нерівності:

1,4 + 0,2 * δ₁ ≥ 0;

0,2 + 0,6 * δ₁ ≥ 0.

З першої нерівності отримуємо, що δ₁ ≥ -7,а з другої випливає, що δ₁ ≥ - . Отримані результати визначають межі зміни коефіцієнта - ≤ δ₁ < + ∞.

Таким чином, при зменшені коефіцієнта цільової функції при змінній х₁ до значення рівного , або при його збільшенні до + ∞ оптимальні значення змінних залишаються незмінними. Цей висновок збігається з результатом, отриманим в п. 7.4.

Слід зазначити, що оптимальне значення Z буде змінюватися у відповідності з виразом (12,8 +2,4 δ₁), де ≤ δ₁< + ∞.

Ми розглянули випадок зміни коефіцієнта при базисній змінній х₁. У разі зміни коефіцієнта при вільній змінні у цільовій функції відбувається зміна коефіцієнта тільки при даної змінної в оптимальній симплекс-таблиці. Розглянемо як ілюстрація випадок, коли коефіцієнт при вільної змінної у₁ (перша вирівнюючи змінна)змінюється від 0 до δ₁.Виконання перетворень, необхідних для отримання заключної симплекс-таблиці, призводить до наступного результуючому Z -рівнянню:.

Вільні змінні	Вільні члени	у1	у2
Zmax	12,8	1,4 – δ2	0,2

З наведеного фрагмента заключної симплекс-таблиці видно, що єдина відмінність від Z -рівняння до введення δ₂ полягає в тому, що коефіцієнт при у₃ зменшився на δ₂. Таким чином, коефіцієнт при вільній змінні в результуючому Z- рівнянні потрібно зменшити на ту ж величину, на яку він збільшувався у вихідному Z -рівнянні.

Дата добавления: 2015-05-23