Оптимальна стратегія заміни обладнання

Загальна постановка задачі

ДИНАМІЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ

Динамічне програмування – один із розділів оптимального програмування, у якому процес прийняття рішення і управління може бути розбитий на окремі етапи (кроки).

Економічний процес є керованим, якщо можна впливати на хід його розвитку. Під управлінням розуміють сукупність рішень, які приймаються на кожному етапі для впливу на розвиток процесу.

Наприклад: випуск продукції є керованим процесом, тому що за управління можна прийняти сукупність рішень (початок року, кварталу, місяця) з забезпечення підприємства сировиною, заміні обладнання, фінансуванню тощо. Необхідно організувати випуск продукції таким чином, щоб прийняті рішення на окремих етапах сприяли одержанню максимально можливого обсягу продукції або прибутку.

Динамічне програмування дозволяє звести одну складну задачу із багатьма змінними до багатьох задач з малою кількістю змінних. Це значно скорочує обсяг обчислень і прискорює процес прийняття управлінського рішення.

На відміну від лінійного програмування, у якому симплексний метод є універсальним методом розв’язку, у динамічному програмуванні такого універсального методу не існує.

Одним із основних методів динамічного програмування є метод рекурентних співвідношень, який ґрунтується на основі принципу оптимальності, який розроблений американським вченим Р. Беллманом. Принцип полягає у тому, що яким би не були початковий стан на будь-якому етапі і управління, яке обрано на цьому етапі, наступні управління повинні обиратися оптимальними відносно стану, до якого прийде система у кінці даного етапу. Використання даного принципу гарантує, що управління, обране на будь-якому етапі, не локально краще, а краще з точки зору процесу в цілому.

У деяких задачах динамічного програмування процес управління розбивається на кроки. При розбитті на декілька кроків ресурсів діяльності підприємства, кроком доцільно вважати часовий проміжок, а при розподілі коштів між підприємствами – номер наступного підприємства. У інших задачах розбиття на кроки вводиться штучно. Наприклад, неперервний керований процес можна розглядати як дискретний, штучно розбивши його на часові відрізки (етапи). Виходячи з умови задачі, у кожному конкретному випадку довжину кроку обирають таким чином, щоб на кожному етапі одержати просту задачу оптимізації і забезпечити необхідну точність обчислень.

Проблема своєчасної заміни застарілого обладнання новим – одна із нагальних проблем будь якої сфери виробничої діяльності. З часом обладнання зношується і фізично і морально, тому на кожному етапі його експлуатація стає менш вигідною у порівнянні з придбанням і використанням нового обладнання. У зв’язку з цим і виникає задача визначення найбільш доцільного моменту заміни. За критерій оптимальності при заміні обладнання у промисловості звичайно приймають мінімум очікуваних витрат або максимум очікуваного прибутку за деякий період часу.

Розглянемо задачу оптимальної політики ремонту і заміни обладнання у спрощеному вигляді. Нехай на початку планового періоду із років маємо деяке обладнання віком . Кожний рік виробляється продукція, витрати на виробництво якої складають . При цьому обладнання вимагає експлуатаційних (поточних) витрат і має залишкову вартість . Всі перелічені характеристики залежать від віку обладнання. У будь який рік обладнання можна зберігати або продати за залишковою вартістю і купити нове за ціною . Сюди входять витрати на установку і запуск в експлуатацію.

Цех по поточним і капітальним ремонтам не виробляє товарної продукції, тобто оцінити ефективність його діяльності неможливо за одержаним прибутком. Тому необхідно розробити оптимальну політику заміни обладнання виходячи з умов мінімізації очікуваних витрат за період часу довжиною років.

У відповідності з загальною концепцією динамічного програмування почнемо процес оптимізації від кінця планового періоду. При цьому роки будуть нумеруватися від кінця періоду до його початку: .

Нехай . Будемо вважати, що до початку останнього року у нас є в наявності обладнання віком років. За нашим вибором буде прийняте одне з наступних рішень: зберігати обладнання або продати його і придбати взамін нове.

Якщо ми приймаємо рішення зберігати обладнання, тоді за останній рік витрати складуть

Якщо ж обладнання продати по залишковій вартості і купити нове, тоді витрати до кінця останнього року складуть

, де - витрати на виробництво продукції на новому обладнанні, тобто нульового віку за рік; - витрати, що пов’язані з експлуатацією нового обладнання протягом року.

Оскільки планується діяльність за останній рік планового періоду, то у відповідності з концепцією динамічного програмування ми повинні діяти так, щоб останній рік сам по собі приніс мінімум витрат. Але результати діяльності у даному випадку характеризуються виразами і . Замінити обладнання буде вигідно, якщо , тобто коли сумарні витрати при роботі на новому обладнанні будуть менше, ніж при роботі на старому.

Позначимо через мінімально можливі сумарні витрати за останні років планового періоду при умові, що на початку періоду маємо обладнання віком і ми дотримуємся оптимальної політики. У відповідності з цим мінімальні витрати за останній рік позначимо через . Зрозуміло, що дорівнює найменшому з виразів і , що символічно можна записати у вигляді

Нехай , тобто розглянемо період, який складається з двох останніх років.

Якщо до початку цього періоду у наявності є обладнання віком і прийнято рішення його зберігати, тоді в кінці першого року величина сумарних витрат дорівнює . За рік обладнання стане старшим на рік і до кінця першого року буде мати вік () рік. Якщо по відношенню до цього обладнання в останній рік дотримуватися оптимальної політики, тоді додатково будуть одержані сумарні витрати , а загальні витрати за два роки складуть

.

Якщо ж на початку другого року буде прийняти рішення про заміну обладнання, тоді витрати, що пов’язані з реалізацією старого обладнання і придбанням нового, складуть , а сумарні витрати на нове обладнання за перший рік будуть дорівнювати . До кінця року нове обладнання постаріє і буде мати вік один рік, тому оптимальна політика в останньому році виражається через витрати .

Загальні витрати за два роки складуть

.

Оптимальною за два останні роки буде політика, яка забезпечує за цей період мінімальні загальні витрати, які дорівнюють найменшому з виразів. Записати це можна у вигляді

Аналогічно одержуємо вираз для і т.д. Загальне функціональне рівняння Белмана має вигляд

,

де п=2, 3,...; t=0, 1, 2, …

Рекурентні співвідношення дозволяють реалізувати концепцію динамічного програмування і розгорнути процес формування оптимальної політики заміни обладнання з кінця періоду, що планується, послідовно відшукуючи для різних значень .

Дата добавления: 2015-05-23