Зразки розв’язання задач 1 страница

Задача 1.

Підприємство виробляє два види продукції. Для виготовлення першого виду продукції використовують два види ресурсів: сировина і електроенергія, витрати яких на одиницю продукції і місячні запаси наведено у таблиці.

Вихідний ресурс	Витрати вихідного ресурсу на одиницю продукції, грн.	Запаси, грн.
І вид	ІІ вид
Сировина	0,8	0,5
Електроенергія	0,4	0,8

Вивчення ринку збуту показало, що місячний попит на І вид продукції перевищує попит на ІІ вид не більше ніж на 100 кг. Окрім того, встановлено, що попит на І вид продукції не перевищує 350 кг за місяць. Роздрібна ціна одиниці продукції І виду - 16 грн., а ІІ – 14 грн.

Яку кількість кожного виду продукції повинно щомісяця виробляти підприємство, щоб виручка від реалізації продукції була максимальною?

Розв’яжемо задачу за допомогою графічного методу

Позначимо: через - місячний обсяг випуску продукції І виду, кг; через - місячний обсяг випуску продукції ІІ виду, кг.

Складемо економіко-математичну модель задачі.

За критерій оцінки приймемо виручку від реалізації продукції (В), яка визначається за формулою

,

де - ціна одиниці і -го виду продукції, грн.; - обсяги виробленої продукції, кг.

Цільова функція буде мати вигляд

при обмеженнях

Знайдемо область припустимих розв’язків.

1. ,

2. ,

3. ,

4.

5. - І чверть.

Областю припустимих розв’язків є п’ятикутник .

Для знаходження екстремальних значень цільової функції при графічному розв’язку знайдемо вектор , який є градієнтом функції

.

Проводимо лінію рівня , яка є перпендикулярною до вектора . Оскільки цільова функція досліджується на максимум, то переміщується лінія рівня за напрямком вектора . Точкою виходу з області припустимих значень є точка , координати якої визначаються як перетин прямих та . Розв’язком системи є значення кг і кг.

Таким чином, найбільше значення функції або максимальна виручка від реалізації продукції складе

Задача №2

Підприємство виробляє три види продукції. Для виготовлення кожного виду продукції використовують два види ресурсів: сировина і електроенергія, витрати яких на одиницю продукції і місячні запаси наведено у таблиці.

Вихідний ресурс	Витрати вихідного ресурсу на одиницю продукції, тис. грн.	Запаси, тис. грн.
	І вид	ІІ вид	ІІІ вид
Сировина
Електроенергія

Роздрібна ціна одиниці продукції І виду - 3 тис. грн., ІІ виду – 4 тис. грн., ІІІ виду – 2 тис. грн.

Яку кількість кожного виду продукції повинно щомісяця виробляти підприємство, щоб виручка від реалізації продукції був максимальним?

Розв’яжемо задачу за допомогою симплексного методу

при обмеженнях

Переведемо економіко-математичну модель до канонічного вигляду

Складемо симплексну таблицю першого кроку

	БЗ
			2
	-3	-4	-2

Заповнимо індексний рядок для змінних за формулами

і для вільного члена

.

Оскільки, маємо від’ємні оцінки при умові, що цільова функція , то знайдений розв’язок не є оптимальним. Складемо симплексну таблицю другого кроку.

За ключовий стовпець обираємо четвертий стовпець, який відповідає найменшому значенню індексної оцінки -4, а за індексний елемент 2, тому що найменше значення відношення вільного члена до відповідного елемента ключового стовпця .

	БЗ
	-1

Оскільки, маємо від’ємну оцінку при умові, що цільова функція , то знайдений розв’язок не є оптимальним. Складемо симплексну таблицю третього кроку.

За ключовий стовпець обираємо третій стовпець, який відповідає від’ємному значенню індексної оцінки -1, а за індексний елемент , тому що найменше значення відношення вільного члена до відповідного елемента ключового стовпця .

	БЗ

Оскільки, всі оцінки при умові, що цільова функція , то знайдений розв’язок є оптимальним.

Таким чином, підприємству необхідно виробляти продукцію І і ІІ виду, а випуск продукції ІІІ виду припинити.

Задача №3

На складах зосереджені запаси продукції у кількості 90, 400, 110 тон відповідно. Споживачі повинні одержати цю продукцію у кількості 140, 300, 160 тон відповідно. Знайти такий варіант закріплення постачальників до споживачів, при якому сума витрат на перевезення була б мінімальною.

Витрати на перевезення однієї тони продукції задано матрицею .

Перевіримо, чи є дана задача закритою.

тон;

тон.

.

Отже, дана транспортна задача є закритою.

Знайдемо вихідний опорний розв’язок методом мінімального тарифу.

Кількість зайнятих клітин дорівнює . Умова невиродженості виконана, тому одержуємо опорний розв’язок, який запишемо у вигляді матриці

.

Вартість перевезень при вихідному опорному розв’язку складає (грн.).

Перевіримо одержаний розв’язок на оптимальність, для цього знайдемо потенціали зайнятих клітин.

Для вільних клітин знайдемо посередні вартості

Занесемо результати обчислень до таблиці. Знайдемо різниці між тарифами та посередніми вартостями

Оскільки серед є від’ємне значення, то знайдений розв’язок не є оптимальним і його необхідно покращити. Перейдемо до нового базису за допомогою циклу перерахунку. Для цього представимо функцію у вигляді

Маємо один від’ємний коефіцієнт , тому при його збільшенні функція буде зменшуватися. Покладемо Пересуваємо вантаж по таблиці .

Одержуємо новий план, який представлений у таблиці.

.

Перевіримо новий план на оптимальність. Для цього повторимо повний цикл розрахунків.

	2 90 -Р	5	2 7 +Р
	4
	3 50 +Р	6	60 -Р

Представимо функцію у вигляді

Перейдемо до нового базису

	2 30 -Р	5 -2	2 60 +Р
	4 5 +Р		100 -Р
		6 -1	8 3

Оскільки серед немає від’ємних значень, то знайдений розв’язок є оптимальним.

Задача №4

Для покращення фінансового стану підприємство прийняло рішення про збільшення випуску конкурентноздатної продукції, для чого було вирішено встановити у одному із цехів додаткового обладнання, яке займає м² площі. На придбання додаткового обладнання підприємство виділило 10 тис. грн., при цьому воно може придбати обладнання двох видів. Придбання одного комплекту обладнання 1-го виду коштує 1 тис. грн., 2-го виду – 3 тис. грн. Придбання одного комплекту обладнання 1-го виду дозволяє збільшити випуск продукції за зміну на 2 шт., а одного комплекту 2-го виду – на 4 шт. Враховуючи, що для встановлення одного комплекту 1-го виду необхідно 1 м² площі, а для обладнання 2-го виду – 1 м² площі. Визначити такий набір додаткового обладнання, який дає можливість максимально збільшити випуск продукції.

Припустима, що підприємство придбало комплектів додаткового обладнання 1-го виду і комплектів обладнання 2-го виду.

Цільова функція має вигляд

із обмеженнями

Розв’яжемо задачу методом Гоморі

Спочатку розв’яжемо симплексним методом, для цього перейдемо до канонічної форми системи обмежень

	БЗ
			3
	-2	-4

	БЗ

Дата добавления: 2015-05-23