Визначений інтеграл

Нехай на відрізку задано обмежену функцію . Спробуємо знайти площу фігури, обмеженої лініями , , та (рис. 33). Для цього побудуємо розбиття відрізка точками , так що . На кож­ному елементі розбитя виберемо точки , які утворять набір . Позначимо і . Число називатимемо інтегральною сумою функції f,яка відповідає розбиттю і набору точок . Цю суму можна вважати наближеним значенням площі заданої криволінійної трапеції. Точне значення площі могло б бути знайдене при нескінченному подрібненні розбиття .

Якщо існує , яка не залежить ні від способу розбиття, ні від вибору точок на елементах розбиття, то її називають визначеним інтегралом функції на відрізку :

.

У цьому випадку кажуть, що функція інтегровна за Ріманом на відрізку . Неперервні та кусково неперервні на відрізку функції є інтегровними за Ріманом на цьому відрізку.

Визначений інтеграл має такі властивості.

1. Якщо і — інтегровні за Ріманом на відрізку , то

.

2. Якщо — інтегровна за Ріманом на відрізку і , то

.

3. .

4. .

5. Якщо функція неперервна на відрізку , то функція є первісною для функції f .

Якщо — будь-яка інша перевісна функції , то . Покладаючи в цій рівності , отримаємо . Звідси і

.

Останню формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца і використовують для обчислення визначених інтегралів від неперервних функцій. Наприклад,

=

.

Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла матиме вигляд

.

Якщо функція диференційовна на разом з оберненою до неї функцією, причому , а функція — неперервна на відрізку , то справджується рівність

,

яку називають формулою заміни змінної у визначеному інтегралі.

Дата добавления: 2015-05-23