Кінематика матеріальної точки

АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТІЛА

МЕХАНІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ ТА

ЕЛЕКТРОСТАТИКИ

ФІЗИЧНІ ОСНОВИ МЕХАНІКИ, МОЛЕКУЛЯРНОЇ ФІЗИКИ ТА

ЧАСТИНА 1

Вступ

Останнім часом внаслідок введення нових дисциплін час вивчення курсу фізики значно скорочено. Однак програма з фізики залишилась незмінною. Це потребує нових підходів до викладання фізики і нових підручників, які б враховували значно скорочені обсяги часу на вивчення фізики. Підручники з фізики, як правило, багатотомові й розраховані на трисеместрове викладання. При самостійній роботі це викликає значні труднощі для студентів. Тому виникла потреба разом з новим курсом мати скорочений у вигляді конспект лекцій, який відповідає об’єму викладання в Академії, а підручники використовувати для більш поглибленого вивчення фізики під час самостійної роботи студентів.

Даний курс лекцій базується на одному з кращих підручників: ”Курсу загальної фізики” І. В. Савельєва. Курс лекцій охоплює в скороченому викладанні практично весь матеріал вказаного тритомного курсу. При цьому максимально скорочено математичний апарат, приділено увагу фізичному змісту понять, явищ і законів. Все це сприяє при обмеженому обсягу часу на вивчення дисципліни якісно оволодіти основними поняттями, явищами і законами фізики при незмінній програмі з фізики.

ГЛАВА 1

Механіка – це вчення про найпростіші форми руху матерії, які полягають у переміщенні тіл одних відносно інших. Будь-який механічний рух можна розкласти на два компонента – поступальний і обертальний.

Матеріальна точка – це тіло, розмірами якого можна знехтувати в умовах даної задачі. Абсолютно тверде тіло – це тіло, деформаціями якого можна знехтувати в умовах даної задачі.

Механіка поділяється на три розділи – кінематику, динаміку і статику. Кінематика вивчає рух без урахування сил, що діють на тіло. Динаміка вивчає рух з урахуванням сил, що діють на тіло. Статика вивчає рівновагу тіл під дією прикладених до нього сил.

Швидкість. Положення матеріальної точки у просторі можна задати за допомогою радіуса-вектора , проведеного з початку координат у дану точку (див. рис. 1). При цьому r_x = x;

Рис. 1

r_y = y; r_z = z. Позначимо – вектор елементарного (тобто дуже малого) переміщення за елементарний проміжок часу D t, D S – елементарний шлях за проміжок D t. Вектор переміщення

направлений з початкової точки у момент часу t у кінцеву в момент часу t+D t, а шлях D S – це довжина траєкторії.

Середня швидкість . (1.1)

Миттєва швидкість . (1.2)

Тобто вектор миттєвої швидкості дорівнює першій похідній від радіуса-вектора за часом і направлений по дотичній до траєкторії.

Проекції швидкості на координатні осі визначаються за формулами

.

Модуль миттєвої швидкості дорівнює першій похідній від шляху за часом

. (1.3)

При рівномірному русі тіло проходить за рівні проміжки часу рівні шляхи , тому і визначається за формулою V=S/t. (1.4)

Обчислення пройденого шляху. Щоб визначити пройдений шлях при нерівномірному русі, потрібно розбити весь шлях на елементарні ділянки , настільки малі, що швидкості на кожному елементарному шляху можна вважати незмінними. Тоді скориставшись формулою (1.4), отримаємо

. (1.5)

Формула (1.5) тим точніша, чим менші проміжки часу . Строгий знак рівності у (1.5) можна поставити тільки під знаком границі при :

. (1.6)

Підсумовування нескінченно малих у математиці має назву інтегрування і позначається

. (1.7)

Таким чином, щоб обчислити пройдений шлях від моменту часу до моменту часу , потрібно швидкість проінтегрувати за часом у вказаних межах. На координатній площині (V, t)

Рис. 2

пройдений шлях чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, яка зверху обмежена графіком залежності , знизу – віссю часу, а ліворуч і праворуч – прямими t=t₁ і t=t₂ (див. рис. 2).

Прискорення. Якщо за час D t приріст швидкості дорівнює , то середнє прискорення визначається формулою

. (1.8)

Миттєве прискорення – це перша похідна за часом від швидкості

. (1.9)

Прискорення характеризує зміну вектора швидкості в одиницю часу. Як випливає з формули (1.9), для визначення прискорення доводиться диференціювати вектор швидкості. Щоб уникнути виконання цієї складної операції диференціювання, при криволінійному русі вектор прискорення розкладають на дві складові – тангенціальну складову , яка направлена вздовж дотичної, і нормальну складову , яка направлена вздовж перпендикуляра до дотичної (див. рис. 3):

Рис. 3

, (1.10)

де

; (1.11)

; (1.12)

R – радіус кривини траєкторії у даній точці. Тангенціальна складова (тангенціальне прискорення) визначає зміну швидкості в одиницю часу за величиною, а нормальна складова (нормальне прискорення) – за напрямком. Тоді повне прискорення і ми уникаємо диференціювання вектора у формулі (1.9).

Обчислення швидкості, якщо відоме прискорення. Для рівнозмінного () руху за рівні проміжки часу швидкість змінюється на однакові прирости DV. Тому для цього руху прискорення

, (1.13)

де – початкова швидкість, тобто швидкість при .

Для того, щоб визначити у загальному випадку зміну швидкості за час t, розіб’ємо весь час руху на елементарні проміжки настільки малі, що прискорення на кожній ділянці можна вважати незмінним і для кожного проміжку скористатися формулою (1.13). Тоді

. (1.14)

Формула (1.14) тим точніша, чим менший . Строгий знак рівності можна поставити тільки під знаком границі, тобто

. (1.15)

Звідси

. (1.16)

При = const формула (1.6) переходить у відому формулу для рівнозмінного руху

; (1.17)

або в скалярному вигляді, спроектувавши вектори і на , маємо

V = V₀ ± a t, (1.18)

де знак плюс відповідає рівноприскореному рухові, а знак мінус – рівносповільненому.

Підставляючи (1.18) у (1.7), отримаємо відому формулу для визначення шляху при рівнозмінному русі

. (1.19)

Таким чином формули

, ,

, .

є найбільш загальними кінематичними формулами, які справедливі для будь-якого руху.

Дата добавления: 2015-05-23