Кінематика обертального руху

Кутова швидкість. Поворот тіла можна представити направленим відрізком уздовж осі обертання – вектором повороту . Довжина цього вектора дорівнює куту повороту, а напрямок визначається за правилом правого гвинта (правилом свердлика) (див. рис. 7). Тільки дуже малі повороти задовольняють

Рис. 7

правилу векторного додавання і, отже, є векторами. Якщо за час виконується поворот , то середня кутова швидкість

. (1.31)

Миттєва кутова швидкість

. (1.32)

Таким чином, вектор кутової швидкості дорівнює першій похідній від вектора повороту за часом і направлений уздовж осі обертання і пов’язаний з напрямком обертання правилом правого гвинта (правилом свердлика). Модуль вектора кутової швидкості

. (1.33)

При відбувається рівномірний обертальний рух, для якого вводяться такі величини: T – період обертання (час одного оберту) та n = ¹ /_T – частота обертання. Тоді кутова швидкість

w=2pn =2p /T. (1.34)

Кутове прискорення. Якщо за час приріст кутової швидкості , то середнє кутове прискорення

(1.35)

Миттєве кутове прискорення

(1.36)

Вектор кутового прискорення характеризує зміну кутової швидкості в одиницю часу і дорівнює першій похідній від кутової швидкості за часом. Вектор може змінюватися як за рахунок зміни швидкості обертання, так і за рахунок повороту осі обертання у просторі. Якщо напрямок осі обертання у просторі залишається незмінним, то модуль кутового прискорення

. (1.37)

У формулі (1.37) a – проекція вектора на вектор , тобто алгебраїчна величина (може мати різні знаки) (див. рис. 8).

При a > 0 вектори і мають однаковий напрямок – обертання є прискореним, при a < 0 вектори і протилежно направлені – обертання сповільнене.

Зв’язок між лінійними і кутовими швидкостями і прискореннями має вигляд

V=wR; (1.38) ; (1.39)

де R – радіус кола, по якому рухається матеріальна точка. Формулу (1.38) можна переписати у векторному вигляді:

, (1.40)

де – радіус-вектор матеріальної точки у площині обертання, а хрестик позначає векторний добуток векторів.

Відступ. Є дії додавання векторів, віднімання векторів, два види добутків (скалярний і векторний), але немає дії ділення вектора на вектор.

Рис. 9

Скалярний добуток двох векторів – це скаляр: , де a – кут між векторами і .

Векторний добуток двох векторів – це вектор, модуль якого , а

напрямок перпендикулярний площині, яку проведено через вектори і , і пов’язаний з напрямком найменшого повороту від до правилом правого гвинта (див. рис. 9).

Дата добавления: 2015-05-23