Теоретичні відомості. Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного фізичного маятника

Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного фізичного маятника

Метароботи: вивчення фізичного маятника.

Фізичним маятником називається тверде тіло, закріплене на нерухомій горизонтальній осі, що не проходить через центр ваги, яке здійснює коливання відносно цієї осі під дією сили тяжіння.

На відміну від математичного маятника, масу такого тіла неможнавважати точковою. При невеликих кутах відхилення , колиможна вважати, що

, (1)

фізичний маятник здійснює гармонічні коливання. Вважатимемо, що сила ваги фізичного маятника прикладена до його центра ваги (рис. 1). Силою, яка повертає маятник у положення рівноваги, у даному випадку буде складова сили ваги ‑ сила . Момент цієї сили відносно осі :

. (2)

Рис. 1. Фізичний маятник.

Знак моменту сили відносно осі протилежний знаку кута повороту маятника і знаку , оскільки при віддаленні маятника з положення рівноваги на кут за годинниковою стрілкою сила намагається повернути маятник у напрямі проти годинникової стрілки, і навпаки. Обертальний момент згідно з основним рівнянням динаміки обертового руху дорівнює:

, (3)

де ‑ момент інерції маятника, ‑його кутове прискорення. Тоді, прирівнюючи рівняння (2) і (3),

, (4)

або

. (5)

І врахувавши умову гармонійності коливань (1),

. (6)

Рівняння (6) є диференціальним рівнянням коливань фізичного маятника. Якщо за аналогією з розв’язком рівняння для математичного маятника покласти

, (7)

де ‑циклічна частота

; (8)

‑період коливань, тоді з рівнянь (7) і (8):

. (9)

Якщо позначити:

, (10)

то формула (9) запишеться:

. (11)

Співвідношення (10) визначає приведену довжину фізичного маятника, тобто довжину такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду даного фізичного маятника.

Оборотний фізичний маятник складається з металічного стержня, вздовж якого можуть переміщатись важки,і опорних призм для підвісу маятника (рис. 2). Для періодів коливань маятника і при його підвішуванніна одній, а потім на другій призмах, згідно з формулою (9)можна записати:

(12)

де і ‑відстані між точками опори і центром ваги маятника (рис. 2), , ‑моменти інерції маятника відносно точок опори.

Рис. 2. Оборотний фізичний маятник.

За теоремою Штейнера:

(13)

де ‑ момент інерції маятника відносно осі, що проходить через центр інерції тіла. З формул (12), врахувавши (13), одержимо:

(14)

Підставляючи з першої рівності в другу, одержимо:

. (15)

Якщо і рівні, то тодімають бути рівні і їх приведені довжини(з рівнянь (10), (12), (13)) тобто :

, (16)

звідки одержимо (використавши праву рівність):

. (17)

Підставивши рівняння (17) у праву рівність рівняння (16), одержимо:

. (18)

Тоді замість формули (15) одержимо вираз:

. (19)

Дата добавления: 2015-05-24