Виды тригонометрических уравнений

1.Простейшие тригонометрические уравнения

Определение. Уравнения вида f(x) = а, где а – данное число, а f(x) – одна из тригонометрических функций, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

cos х = ;

Ответ:

2. Двучленные уравнения

Пример: sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = p n, n Î Z, x2 = p /4 + p n/2, n Î Z.

Ответ: x1 = p n, n Î Z, x2 = p /4 + p n/2, n Î Z.

3.Однородные тригонометрические уравнения

Определение. Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Пример:

а sinx + b cosx = 0.

Если cosx = 0, то sinx = 0.

Что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:

а · tgx + b = 0

tgx = –b / а – простейшее тригонометрическое уравнение.

Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).

Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то

2tgx – 3 = 0;

tgx = 3/2;

х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z.

4. Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Определение. Уравнение вида a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.

Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Если cosx = 0, то sinx = 0.

Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos²x:

а tg²x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному.

Вывод: О днородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos²x (sin²x).

Например: 3 sin²x – 4 sinx cosx + cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠ 0, то

3tg²x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно).

Замена: tgx = у. 3у²– 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y₁ = 1 или y₂ = 1/3

tgx = 1 или tgx = 1/3

tgx = 1:

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

tgx = 1/3:

х = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

Ответ: х = arctg1 + πn, n ∈Z, x = π/4 + πn, n ∈Z

Дата добавления: 2015-05-08