Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами

(резонанс токов) Для цепи рис. 4 имеем ,

где

*;

(8)

*.

(9)

В зависимости от соотношения величин и , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б. - случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов или

*.

(10)

При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи. Например, для цепи на рис. 6 имеем

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид ,

откуда, в частности, находится резонансная частота.

34. Резонанс напряжения

При резонансе напряженийиндуктивное сопротивление X_L равно емкостному Х_с и полное сопротивление Z становится равным активному сопротивлению R:

Z =?(R² + [?₀L - 1/(?₀C)]²) = R

В этом случае напряжения на индуктивности U_L и емкости U_c равны и находятся в противофазе (рис. 196,б), поэтому при сложении они компенсируют друг друга. Если активное сопротивление цепи R невелико, ток в цепи резко возрастает, так как реактивное сопротивление цепи X = X_L—X_с становится равным нулю. При этом ток I совпадает по фазе с напряжением U и I=U/R. Резкое возрастание тока в цепи при резонансе напряжений вызывает такое же возрастание напряжений U_L и U_c, причем их значения могут во много раз превышать напряжение U источника, питающего цепь.

Угловая частота?0, при которой имеют место условия резонанса, определяется из равенства ?_oL = 1/(?₀С). Схема (а) и векторная диаграмма (б) электрической цепи, содержащей R, L и С, при резонансе напряжений

Отсюда имеем

?_o = 1/?(LC) (74)

Если плавно изменять угловую частоту? источника, то полное сопротивление Z сначала начинает уменьшаться, достигает наименьшего значения при резонансе напряжений (при?_o), а затем увеличивается (рис. 197, а). В соответствии с этим ток I в цепи сначала возрастает, достигает наибольшего значения при резонансе, а затем уменьшается.

35. Последовательное соединение элементов

При последовательном соединении все элементы связаны друг с другом так, что включающий их участок цепи не имеет ни одного узла.

При последовательном соединении проводников сила тока в любых частях цепи одна и та же: I= I₁=I₂

Полное напряжение в цепи при последовательном соединении, или напряжение на полюсах источника тока, равно сумме напряжений на отдельных участках цепи: U= U₁+U₂

А сопротивление R= R₁+R₂+…..+R₃

36. Параллельное соединение элементов

Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов в отдельных параллельно соединённых проводниках: I= I₁+I₂

Напряжение на участках цепи АВ и на концах всех параллельно соединённых проводников одно и то же:

U= U₁=U₂

Сопротивление 1/R= 1/R₁+1/R₂+1/R₃…..

37. Характеристики синусоидального тока

Частота f это количество колебаний в единицу времени. За единицу времени в системе СИ принимается одна секунда. Таким образом, количество колебаний за секунду это и есть частота синусоидального тока. И измеряется она в Герцах. Названа в честь ученого Герца. Величина обратная частоте называется периодом колебания T=1/f. Период измеряется в секундах. Определение периода звучит так период это время полного колебания. Если представить себе маятник часов то период это время за которое он совершит движение из одного крайнего положения в другое и обратно.

Амплитуда синусоидального тока это максимальное значение тока, которое он достигает за период колебания. Опять же если рассматривать на примере маятника, то амплитуда это расстояние от положения равновесия до одного из крайних положений.

Начальная фаза синусоидального тока это то время, на которое отстает либо опережает синусоида начальный момент времени. Представим две синусоиды одна, из которых начинается условно в нуле а другая в 1. То можно сказать, что вторая синусоида отстаёт по фазе от первой. Если обе синусоиды начинаются в одной точке то можно сказать что они синфазные, то есть имеют одну фазу. При этом они обе могут отставать от начального момента времени на одну и ту же величину, то есть иметь одинаковую начальную фазу.

38. Узел, контур, ветвь, схема замещения

39. Закон Ома в комплексном виде

40. Переход от «Звезды» в «Треугольник» и наоборот

Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 2.25), называют звездой, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.26), — треугольником. В узлах 1, 2, 3 (потенциалы их Φ₁, Φ₂ и Φ₃) треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).

Обозначим токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3, через I₁, I₂ и I₃.

Часто при подсчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовывать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены. Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи I₁, I₂ и I₃3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Для звезды

*

Подставим (2.24) в (2.23) и найдем Φ₀:

откуда

*

Введм Φ₀ в выражение (2.24) для тока I ₁:

Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.26

Так как ток I ₁, в схеме рис. 2.25 равен току I ₁ в схеме рис. 2.26 при любых значениях потенциалов Φ₁Φ₂Φ₃, то коэффициент при Φ₂ в правой части (2.27) равен коэффициенту при Φ₂ в правой части (2.26), а коэффициент при Φ₃ в правой части (2.27) — коэффициенту при Φ₃ в правой части (2.26).

Следовательно

*

Аналогично,

*

Формулы (2.28) — (2.30) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе правой части соответствуют индексам у проводимости в левой части; в знаменателе — сумма проводимостей лучей звезды.

Из уравнений (2.28) — (2.30) выразим сопротивления лучей звезды через сопротивления сторон треугольника:

С этой целью запишем дроби, обратыне (2.28)-(2.30):

где

Подставив (2.31),(2.33) и (2.34) в (2.32), получим

следовательно,

Подставив m в (2.33), найдем

Аналогично,

*

Структура формул (2.35) — (2.37) аналогична структуре формул (2.28) — (2.30).

Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рас-смотрев, например, схему рис. 2.27, а, б. На рис. 2.27, а изображена схема до преобразования, пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.27, б представлена та же схема после преобра-зования. Расчет токов произвести для нее проще (например, методом двух узлов), чем для схемы рис. 2.27, а.

В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедиться на примере схем рис. 2.27, в, г. На рис. 2.27, в изображена схема до преобразования, пунктиром обведена преобразуемая в треугольник звезда. На рис. 2.27, г представлена схема после преобразования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений¹.

*

41.

Дата добавления: 2015-05-07