Олимпиада по математике (внутренняя) тусур 2-3 курс, 2015

Решение задачи 1 (тема - ряды)

Найти сумму функционального ряда: .

Решение. Очевидно, в нуле . Рассмотрим сумму , она в точности равна , то есть , то есть . В то же время для 1-й производной верно . Известно, что , то есть . Т.е. искомая сумма . Осталось вычислить интеграл (по частям в два шага) на отрезке [0,x]

, , , , следовательно,

=

на втором шаге , , , ,

то есть получаем . В итоге

Решение задачи 2 (тема - комплексные числа)

Вычислить сумму .

Решение. Обозначим ,

. Тогда получается геометрическая прогрессия для числа . Таким образом, S₁+iS₂ = a + a³ + a⁵ +…+ a⁹⁹, по формуле суммы геометрической прогрессии = = = = = = , для ответа нужна только действительная часть этого числа, то есть .

Решение задачи 3 (тема - неопределённый интеграл) Найти интеграл , где .

Умножим числитель и знаменатель на e^x. Тогда I = .

Здесь можно заменить e^x на t. Тогда с помощью известного табличного интеграла, при ab>0 получаем =

Решение задачи 4 (тема - определённый интеграл, геометрия)

Через три смежные вершины квадрата проведены парабола и окружность, причем вершина параболы совпадает с одной из вершин квадрата. Найдите отношение площади области, заключенной между параболой и окружностью, к площади квадрата.

Пусть парабола и окружность проходят через вершины A, B и C квадрата ABCD, причем вершина параболы находится в точке B. Введем декартову систему координат на плоскости так, чтобы начало координат совпадало с вершиной параболы, а ось ординат являлась осью симметрии параболы. В этой системе координат парабола задается уравнением y = kx ². Обозначим через A ₁(a; 0) и C ₁(– a; 0) проекции точек A и C на ось абсцисс (абсциссы этих точек противоположны, так как сами точки симметричны относительно начала координат). Тогда точки A и C имеют координаты (a; a) и (– a; a) соответственно.

Так как парабола y = kx ² проходит через точку A (a; a), то a = ka ² и . Тогда криволинейная трапеция, ограниченная сверху дугой параболы ABC, имеет площадь . Площадь прямоугольника ACC ₁ A ₁ равна 2 a ², а площадь полукруга, ограниченного сверху диаметром AC и снизу дугой ABC, составляет . Следовательно, площадь, расположенная под окружностью, равна = . В то же время площадь под параболой: (очевидно, она больше, то есть парабола проходит выше). Тогда площадь области, заключенной между параболой и окружностью, равна их разности: = = .

Поскольку квадрат ABCD имеет площадь , то искомое отношение площадей составляет . Ответ: .

Решение задачи 5 (тема - дифференциальные уравнения)

Поскольку определённый интеграл равен const, то при дифференцировании по t получаем . Решая это дифференциальное уравнение получим . Из условия u(0)=1 находим С₁+С₂=1, т.е. С₂=1-С₁, тогда . Подставляем в исходное уравнение и решаем его, чтобы найти С₁.

, . Отсюда , тогда .

Решение задачи 6 (тема - вероятность)

Если число обладает таким свойством, как требуется в задаче, то делится без остатка на 2,3,4,5,6. То есть делится на их общее кратное 60. Нужно среди 900 трёхзначных чисел 100,...,999 выбрать числа вида . Первое из них это , последнее . Общее количество таких чисел равно 15, а значит, вероятность выбрать такое число = .

Дата добавления: 2015-05-08