Практичні питання дискретизації реальних сигналів

Повідомлення, що передаються по каналах зв'язку (мова, музика, телевізійний сигнал, телеметричні дані і т.д.), на практиці є функціями з обмеженим спектром. Наприклад, верхня частота спектра F m приблизно дорівнює: для мови - 3,5 кГц, для музики - 10 - 12 кГц (задовільний відтворення), для телевізійних сигналів - 6 МГц.

Деяка некоректність полягає в тому, що теорема відліків доведена для функцій Х (t), заданих на необмеженій інтервалі t Î (- ¥, ¥). Відповідно відліки {Х (i D t), i = 0, ± 1, ± 2,.. } Являють собою нескінченну послідовність. Однак у реальних умовах повідомлення Х (t) мають початок і кінець, а отже, кінцеву тривалість T <¥. Умови фінітного спектру і кінцевої тривалості повідомлення, строго кажучи, несумісні. Спектр функції з кінцевою тривалістю теоретично має значення, відмінні від нуля, при будь-яких значеннях частоти F Î (- ¥, ¥). Тоді при будь-якому виборі кроку дискретизації D t сусідні бічні смуги спектру (див. рис.1) перекриваються, і на виході ідеального фільтра нижніх частот з частотою зрізу F = 1 / 2 D t буде відновлений сигнал Х * (t), не повністю збігається з вихіднимсигналом Х (t). По-перше, відсікаються частотні складові спектра з | f |> F. По-друге, в смугу пропускання фільтра потрапляють "хвости" періодичного продовження спектру.

Разом з тим завжди можна задати крок дискретизації D t (або верхню частоту спектра F m = 1 / 2 D t) так, щоб енергія Е D, зосереджена в відсікаються "хвостах" спектру (на частотах f> 1 / 2 D t), була пренебрежимо мала в порівнянні з енергією всього сигналу Е x. Помилка відновлення сигналу Х * (t) на виході фільтра залежить від ставлення Е D / Е x і може бути вибором D t (або F = 1 / 2 D t) зроблена менше будь-якої заданої величини. Цілком очевидно, що якщо спотворення повідомлень, зумовлені тимчасової дискретизацією, будуть значно менше спотворень, викликаних перешкодами в каналі зв'язку і допустимих технічними умовами для даної системи передачі інформації, то такі спотворення істотного значення не мають і можуть не враховуватися.

Таким чином, приблизно можна прийняти, що реальні повідомлення мають кінцеву тривалість T і одночасно їх спектри обмежені за частотою величиною F m. При цьому нескінченний ряд Котельникова (13) перетвориться в кінцевий з числом ненульових відліків n, приблизно рівним відношенню тривалості повідомлення до інтервалу дискретності:

(14)

Основні формули теореми відліків для сигналів, відмінних від нуля на кінцевому інтервалі t Î (0, T), приймають вигляд:

(15)

(16)

(17)

Нарешті, коли сигнал {X (t), t Î (0, T)} задано кінцевим числом відліків X (0), X (D t),.., X (k D t), у формулах (15) - (17) на відміну від відповідних точних формул слід було б писати знак наближеної рівності (@). Проте зазвичай цього не роблять.

Ще одним наближенням, яке не може бути виконано в дійсності, є припущення про "ідеальності" амплітудно-частотної характеристики відновлюючого фільтра H (f). Справа в тому, що фільтр з ідеально прямокутної АЧХ має ІПХ нескінченної тривалості і не може бути реалізований на практиці. Фільтри ж з кінцевою ІПХ мають теоретично нескінченну смугу. Неважко показати, що вплив кінцевої тривалості ІПХ відновлюючого фільтра на сигнал Х * (t) має той же характер, що і обмеженість інтервалу спостереження функції Х (t).

Отже, для фільтра НЧ із заданою АЧХ завжди можна вибрати крок дискретизації D t таким, щоб енергія Е D, що просочується через "хвости" його амплітудно-частотної характеристики (на частотах f> 1 / 2 D t), була пренебрежимо мала в порівнянні з енергією всього сигналу Е x. У зв'язку з цим на практиці крок дискретизації реальних повідомлень Х (t) роблять трохи меншим, а частоту дискретизації, відповідно, - дещо більшою (принаймні, на 30 - 50%), ніж наказує теорема Котельникова.

Дискретизація двовимірних сигналів (зображень)

Все більшу частину переданих з використанням РТС ПІ повідомлень, особливо останнім часом, складають сигнали, які є функціями не тільки часу - λ (t) (мова, музика і т.п.), але і ряду інших змінних, наприклад, λ (x, y), λ (x, y, t) (статичні і динамічні зображення, карти фізичних полів і т.п.). У зв'язку з цим природним є питання: чи можна так, як це робиться для тимчасових сигналів (або інших функцій однієї змінної), виробляти дискретизацію багатовимірних сигналів (функцій кількох змінних)?

Відповідь на це питання дає теорема дискретизації для двовимірних (або в загальному випадку - для багатовимірних) сигналів, яка стверджує: функція двох змінних λ (x, y), двовимірне перетворення Фур'є якої

(18)

дорівнює нулю при fx ≥ fx max і fy ≥ fy max, однозначно визначається своїми значеннями в рівновіддалених точках площини змінних x і y, якщо інтервал дискретизації задовольняє умові Δ x ≤ 1 / 2 fx max, Δ y ≤ 1 / 2 fy. Процедура дискретизації двовимірної функції ілюструється прикладом, наведеним на рис.2 - 4.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Доказ двовимірної теореми дискретизації засноване, так само як і для одновимірного випадку, на однозначним дотриманням між сигналами спектрами: однаковим зображенням (двовимірним функцій) відповідають однакові спектри, і навпаки, якщо спектри двох функцій однакові, то й самі ці функції рівні один одному.

Перетворення Фур'є (спектр) дискретизованного двовимірної функції FF {λ (i D x, j D y)} виходить періодичним продовженням спектру вихідної неперервної функції λ (x, y) в точки частотної площини (k D fx, l D fy) (рис. 5), де fx і fy - так звані "просторові частоти", які є аналогами звичайної "тимчасової" частоти і відображають швидкість зміни двовимірної функції λ (x, y) за відповідними координатами (великі фрагменти зображення - низькі частоти, дрібні деталі - високі частоти).

Рис. 5.

Аналітично це можна записати наступним чином:

(18)

З рис.1.8. видно, що якщо дотримується умова неперекриваемості періодичних продовжень спектру FF {λ (i D x, j D y)}, а це справедливо при Δ x ≤ 1 / 2 fx max,Δ y ≤ 1 / 2 fy max, то за допомогою ідеального двовимірного ФНЧ з частотною характеристикою виду

(19)

із спектру дискретизованного функції FF {λ (i D x, j D y)} можна абсолютно точно виділити спектр вихідної неперервної функції FF {λ (x, y)} і, отже, відновити саму функцію.

Таким чином, видно, що не існує принципових відмінностей у дискретизації між одновимірними і двовимірними (багатовимірними) функціями. Результатом дискретизації в обох випадках є сукупність відліків функції, відмінності можуть бути лише у величині кроку дискретизації, числі відліків і порядку їх слідування.

4)

Дата добавления: 2015-05-09