Системи числення. Дії з двійковими числами

Система числення – це алфавіт системи та правила утворення чисел та дій з ними.

Системи числення є позиційні і непозиційні.

Звичайною для нас і загальноприйнятою є позиційна десяткова система числення. Як умовні знаки для запису чисел вживаються цифри.

Система числення, в якій значення кожної цифри залежить від місця в послідовності цифр у записі числа, називається позиційною. Система числення, в якій значення кожної цифри в довільному місці послідовності цифр, яка означає запис числа, не змінюється, називається непозиційною.

Щоб визначити число, недостатньо знати тип і алфавіт системи числення. Для цього необхідно ще додати правила, які дають змогу за значеннями цифр встановити значення числа.

У непозиційній системі кожен знак у запису незалежно від місця означає одне й те саме число. Добре відомим прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій роль цифр відіграють букви алфавіту: І - один, V - п'ять, Х - десять, С - сто, Z - п'ятдесят, D -п'ятсот, М - тисяча. Наприклад, 324 = СССХХІV. У непозиційній системі числення незручно й складно виконувати арифметичні операції.

Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення. Основою цієї системи є число десять.

Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена форма запису розкладу за степенями основи системи числення, наприклад

1306=1*10³+3*10²+0*10¹+6*10⁰

Тут 10 є основою системи числення, а показник степеня - це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зліва на право, починаючи з нуля).

Найпоширенішою для подання чисел у пам'яті комп'ютера є двійкова система числення. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві цифри: 0 і 1, тобто достатньо двох стійких станів фізичних елементів.

Для переведення чисел із системи числення з основою p в десяткову систему використовується формула:

(а_к а_к-1… а₁ а₀)= а_к∙р^к+ а_к-1∙р^к-1+… а₁∙р+ а₀.

Наприклад:

з двійкової в десяткову:

(101001)₂=1∙2⁵+0∙2⁴+1∙2³+0∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=32+0+8+0+0+1=(41)₁₀

Для переведення чисел із десяткової системи числення в систему числення з основою р потрібно:

послідовно число ділити на основу нової системи числення, виділяючи остачі, поки частка не менша за р. Остачі записані у зворотному порядку, будуть утворювати число в новій системі числення.

Наприклад: з десяткової в двійкову:

7 2

6 3 2 (7)₁₀=(111)₂

1 2 1

Дії з двійковими числами. Основні арифметичні дії з двійковими числами виконують з врахуванням таблиць додавання, віднімання та множення. Ділення виконують «у стовпчик», з використанням таблиць множення та віднімання.

Додавання Віднімання Множення

0+0=0 0-0=0 0∙0=0

0+1=1 1-0=1 0∙1=0

1+0=1 1-1=0 1∙0=0

1 + 1=10 10 - 1=1 1∙1=1

Є лише одне правило, яке відрізня­ється від традиційного: 1+1=10 і наслідок з нього:

10-1=1.

Потрібно пам'ятати, що (1)₂ = (1)₁₀ і (10)₂ = (2)₁₀.

Дію 1 + 1 = 10 виконуємо так: у нульовому розряді результату пишемо цифру нуль, а одиницю переносимо у старший розряд. У десятковій арифметиці це те ж саме, що 9 + 1 = 10.

Дата добавления: 2015-05-07