Математичні основи роботи комп’ютера

Логічні величини та логічні операції. Розв'язуючи задачі з математики, фізики та хімії, ми оперуємо даними. Цими даними є числа. Ми вміємо виконувати дії з числовими даними: додавання, відні­мання, множення, ділення, піднесення до степеня і знаємо, що такі дії мають різний пріоритет.

Але виявляється, що окрім числових даних, в інформатиці існують інші типи даних, наприклад, логічні.

Логічні дані та дії, визначені над ними, утворюють булеву алгебру, названу на честь її творця — англійського математика Джорджа Буля (1815-1864). Уже значно пізніше виявилося, що функціонування багатьох електронних пристроїв (лічи­льників, суматорів, шифраторів, дешифраторів тощо) описується форму­лами булевої алгебри. Одним із різновидів булевої алгебри є — алгебра висловів.

Алгебру висловів утворюють вислови та логічні операції над ними.

Вислів —це розповідне речення, яке може бути або істинним, або хибним.

Якщо вислів відповідає дійсності, то він істинний, у протилежної випадку — хибний. Наприклад, нехай відомо, що Х=10. Тоді вислів «Х>5» є істинним, а вислів «Х<5» є хибним.

Вислови є логічними величинами. Як і числові, логічні величні можуть бути сталими або змінними. Якщо вислів, позначений іменем А, є істинним, то пишуть А=1, якщо хибним, то пишуть А=0. Тут 1 і 0 — логічні сталі. Є лише дві логічні сталі: 1 і 0. Логічні змінні позначають літерами. Змінні можуть набувати значення 1 або 0, тобто «істина» або «хибність».

Є три основні логічні операції над логічними величинам:

1) «НЕ» (інші назви: інверсія, логічне заперечення; символ операції «» пишеться над величиною);

2) «І» (кон'юнкція, логічне множення; символ «•» або «»);

3) «АБО» (диз'юнкція, логічне додавання; символ «+» або «v»).

Послідовність виконання операцій така: спочатку виконуються операції «НЕ», пізніше — операції «І», останніми— операції «АБО».

Позначимо аргументи літерами А і В, арезультат логічної операції — літерою С.

Означення 1. Операція «НЕ», застосована до А, дає протилежне значення А.

Означення 2. Операція «І», застосована до А і В, дає значення 1 тільки тоді, коли А = 1 і В = 1, і значення 0 у всіх інших випадках.

Означення 3. Операція «АБО», застосована до А та В, дає значення 1, якщо хоча б одна змінна А або В має значення 1, і значення 0, якщо А = 0 і В = 0.

Дані означення можна проілюструвати засобами таблиць істинності.

Операція«НЕ»		Onерація «І»		Операція «АБО»
А	С=		А	В	С=А∙В		А	В	С=А+В
1 0	0 1		1 1 0 0	1 0 1 0	1 0 0 0		1 1 0 0	1 0 1 0	1 1 1 0

Основні формули алгебри логіки. Вислови, для яких результатуючі стовпці в таблиці істинності збігаються, називаються рівносильними. Для позначення рівносильних висловів використовують символ «=», який слід читати так: рівносильно.

Для операцій «І» та «АБО» виконуються переставний та сполучний закони:

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С); А∙В = В∙А, (А∙В) ∙С =А∙ (В∙С).

Основні формули алгебри логіки (властивості логічних операцій).

Операція «НЕ» =0

Операція «1» А∙ 1=А А ∙ 0=0 А ∙ А=А А ∙ =0

Операція «АБО» А+1=1 А+0=А А+А=А А+ =1

За допомогою формул алгебри логіки описують функціонування фізичних пристроїв, а також розв'язують різноманітні логічні задачі.

Як і алгебричні вирази, громіздкі логічні формули потрібно спро­щувати, щоб у них було якнайменше операндів.

Елементи теорії автоматів. Логічні формули застосовують для побудови (синтезу) автоматів. Розглянемо найпростіші (без елементів пам'яті) автомати — пристрої, які перетворюють вхідні потоки інформації, що складається з одного чи багатьох сигналів, у вихідні.

Сигнали бувають двох типів. Їх умовно позначають «1» і «0». Автомат можна сконструювати, маючи логічну формулу, за допомогою елементарних пристроїв, які реалізують логічні операції «НЕ», «І», «АБО».

Етапи створення автомата:

Задача => логічна формула => логічна схема => фізична схема => виготовлення пристрою.

Схеми трьох логічних операцій.

Схеми для oперацій «І» та «АБО» мають два або більше входів.

Логічній формулі відповідає комбінація схематичних позначень. Це і є логічна схема автомата.

Маючи логічну схему, потрібно побудувати фізичну схему, наприклад, електричну. Для цього в логічній схемі замінюють позначення логічних операцій електричними схемами. Таким чином отримують повну електричну схему автомата, яка є кінцевим результатом роботи конструктора.

Дата добавления: 2015-05-07