Доказательство. Пусть - произвольное борелевское множество на . Тогда его прообраз можно представить в виде

Классификация фазовых переходов по Эренфесту

Различают фазовые переходы первого и второго рода. При фазовых переходах первого рода требуется затрата количества теплоты; физические характеристики системы (такие как удельный объем или энтропия) при этом изменяются скачком.

При фазовых переходах второго рода такие характеристики системы, как энтропия или удельный объем, испытывают излом (то есть меняются непрерывно). Характерной особенностью таких переходов является непрерывное изменение физических параметров и отсутствие теплоты перехода. Для таких переходов уравнение Клапейрона-Клаузиуса не является верным, поскольку в нем и числитель, и знаменатель будут стремиться к нулю, то есть возникает неопределенность.

К фазовым переходам первого рода относятся, например, явления парообразования и плавления, к фазовым переходам второго – переход гелия-1 в гелий-2, переход проводника в сверхпроводящее состояние, переход ферромагнетика в парамагнетик и другие.

[1] Молекулы могут состоять из одного и более атомов.

[2] Ранее эти величины назывались атомным и молекулярным весом.

[3] Ангстремом (обозначается Å) называется внесистемная единица длины, равная 10^–10 м. Эта единица очень удобна в атомной физике.

[4] Существует также термодинамика неравновесных процессов, однако мы ее касаться не будем.

[5] Это определение следует рассматривать как предварительное. В статистической физике понятие внутренней энергии подвергается уточнению. Обсуждение этого уточнения выходит за рамки общего курса физики.

[6] В уравнении (1.9) dU представляет собой полный дифференциал, δ Q и δ A не являются полными дифференциалами.

[7]Для практических расчетов иногда бывает удобно пользоваться значением R в литр-атмосферах на моль-кельвин:

.

[8] С таким же успехом можно выразить давление через параметры конечного состояния.

[9] При выражения (1.55) и (1.57) становятся неопределенными.

[10] В соответствии с (1.70) эта величина должна быть безразмерной.

[11] Известно, что вода при замерзании увеличивается в объеме. По этой причине лед имеет меньшую плотность, чем вода.

= =

= .

Теперь осталось воспользоваться известной теоремой анализа (см., например, [65, с. 162]). Она утверждает, что если - конечное семейство случайных величин, а - борелевское отображение, то суперпозиция вида является случайной величиной. Поэтому .

Из доказанного утверждения следует, что класс отображений вида , удовлетворяющих указанным требованиям, достаточно широк. В частности, он содержит все непрерывные отображения, включая сумму , произведение , частное вида , а также тождественное отображение и отображение-константу , где - вещественное число. Далее будут широко ис­поль­зоваться приведенные ни­же три отображения вида

, и .

Из Теоремы 3.1.1 следует, что все они являются признаками. В самом деле, для первого признака , а отображение определяется равенством , то есть является тождественным. Значением этого признака служит результат измерения заданного свойства в пикселе с координатами . Во втором случае отображение является суперпозицией вида . Где отображение определяется равенством , а отображение - равенством . Значением признака в этом случае является, так называемая, средняя яркость пикселей, образующих . В последнем, случае отображение имеет вид , то есть является отображением-константой. Значением признака служит площадь конечного множества . Признак , значение которого зависит только от вида проекции и не зависит от значений , называется, как известно, геометрическим.

Рассмотрим менее очевидную ситуацию, которая возникает при сравнении случайных величин, описывающих свойства различных пик­селей. В самом деле, пусть - квадрат на с центром и радиусом . Предположим, что принятие некоторого решения зависит от результатов сравнения с каждым из остальных , . Поэтому в качестве значения признака удобно рассматривать количество точек из множества , для которых выполняется неравенство . Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что для интервала его индикатор (характеристическая функция) является борелевским ото­бражением вида . Поэтому суперпозиция разности и индикатора тоже будет борелевским отображением вида . Это позволяет определить для каждой точки признак равенством

.

Таким образом, Теорема 3.1.1 и рассмотренные примеры позволяют надеяться, что большинство признаков, используемых при решении прикладных задач, являются на самом деле случайными величинами.

3.2 Изменение набора признаков

Разработка и применение многоспектральных оптико-электронных средств, формирующих векторные изображения сцены, значительно сложнее и дороже односпектральных, которые предназначены для получения скалярных изображений. Тем не менее, доля многоспектральных средств постоянно увеличивается, а число одновременно измеряемых признаков достигло уже нескольких сотен. Объяснением этой тенденции служит, по-види­мому, уверенность в том, что векторное изображение содержит больше ин­формации о сцене, чем его любая скалярная компонента. Следовательно, эффективность дешифрирования векторного изображения должна быть вы­ше эффективности дешифрирования любой его компоненты.

Однако, это не всегда так. Будет показано, что при классификации с применением расширенного набора признаков вероятность ошибки байесовского решающего правила может не уменьшиться.

В самом деле, предположим, что множество , элементы которого называются объектами, состоит из конечного числа попарно непересека­ющихся подмножеств , , , называемых классами. Пусть и - на­туральные числа, а и - наборы из и признаков соответственно, то есть отображения вида и . Будем говорить, что набор признаков является расширением набора , если и если для любого имеет место равенство , , то есть

.

Таким образом, расширение исходного набора признаков заключается в добавлении к имеющимся признакам новых. Для расширенного набора признаков имеет место следующее утверждение [51-52].

Теорема 3.2.1. Пусть - расширение набора признаков , и - байесовские решающие правила для и , а и - соответствующие им вероятности ошибок классификации. Тогда .

Доказательство. Определим в признаковом пространстве решающее правило с помощью равенства

= .

Дата добавления: 2015-05-09