Дискретизація рівняння

Побудова сітки

Розглянемо один із простіших способів побудови сітки.

Нехай на площині є деяка область W з границею Г. Побудуємо на площині дві сім’ї паралельних прямих

точки перетину цих прямих називають вузлами сітки.

Два вузли називають сусідніми, якщо вони віддалені один від одного на відстань кроку у відповідному напрямку. Сукупність сусідніх з вузлом вузлів

утворюють п’ятиточкову зірку з центром в точці

Вузол називають внутрішнім вузлом, якщо всі вузли його зірки лежать в області W + Г.

Вузол називають граничним вузлом, якщо хоча б один із вузлів зірки не належить області W + Г.

Значення шуканої функції у вузлах сітки позначатимемо .

В кожному внутрішньому вузлі замінимо частинні похідні скінченними різницями, тобто

В граничних точках слід використовувати формули

Задача Діріхле

Нехай задано рівняння Пуассона

,

яке на межі області задовольняє граничні умови

Таку крайову задачу називають задачею Діріхле.

Побудувавши сітку Нехай Замінивши частинні похідні скін­чен­ними різницями, отримаємо рівняння

Підставляючи в це рівняння конкретні значення i, j отримаємо систему лінійних алгебраїч­них рівнянь, яку розв’язуємо одним із відомих методів.

Якщо , то таке рівняння називають рівнянням Лапласа.

Приклад 1. Розв’язати граничну задачу

,

u ₁₂

u ₂₂

u ₃₂

u ₄₂

u ₂₀

u ₃₀

u ₄₀

u ₀₁

u ₁₁

u ₂₁

u ₃₁

u ₄₁

u ₁₃

u ₂₃

u ₃₃

u ₄₃

u ₀₄

u ₁₄

u ₂₄

u ₃₄

u ₄₄

u ₀₂

u ₀₀

0 0,25 0,5 0,75 1 x

y   0,75   0,5   0,25

u ₁₀

u ₀₃

Розв’язування. Маємо Нехай Проведемо дискретизацію області та порахуємо значення функції в граничних вузлах. З граничної умови отримаємо

, , , , ;

з граничної умови будемо мати

, ,

, , ;

з граничної умови будемо мати

, , , , ;

з останньої граничної умови :

, , , , .

Значення у внутрішніх вузлах визначимо за формулою

Отже,

Складемо систему з дев’яти рівнянь. Отримаємо

,

Розв’язавши систему, отримаємо

, , ,

, , ,

, , .

Отже, розв’язком даної задачі буде (значення функції у вузлах сітки)

Задача теплопровідності

Розглянемо рівняння параболічного типу

яке задовольняє початкову умову

та граничні умови

,

, де

Класичним прикладом такої задачі є задача теплопровідності або дифузії.

Зауваження. Якщо зробити заміну то отримаємо рівняння

яке і розглядатимемо далі.

Побудуємо сітку та дискретизуємо початкову та граничні умови. Отримаємо

, , .

(i +1, j)

(i -1, j)

(i, j)

(i, j +1)

Якщо для дискретизації рівняння скористатись правими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння

Тоді

Побудовану схему називають явною скінчено-різницевою схемою.

Зауваження. Для того, щоб явна скінченно-різницева схема була стійка та збігалась до розв’язку необхідно, щоб для вибраних кроків виконувались нерівності

(i +1, j)

(i -1, j)

(i, j -1)

(i, j)

Якщо для дискретизації рівняння скористатись лівими різницями, то отримаємо скінченно-різницеве рівняння

Тоді

Таку схему називають неявною скінчено-різницевою схемою.

Якщо вибрати кроки так, щоб , то у випадку явної схеми будемо мати

а у випадку неявної –

Якщо для явної схеми вибрати , то отримаємо

Приклад 2. Розв’язати рівняння методом сіток

,

Розв’язання. Виберемо крок по осі х і нехай

Отже,

Тоді скінченно-різницеве рівняння буде мати вигляд

Порахуємо значення функції в граничних вузлах.

З початкової умови будемо мати

З граничної умови отримаємо

, , , , ;

a з граничної умови будемо мати

, ,

Обчислимо внутрішні значення

Результати обчислень значення функції занесемо в таблицю:

	i
j	xi tj	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0
	0,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
	0,125	1,125	1,000	1,000	1,000	1,125
	0,250	1,250		1,000		1,250
	0,375	1,375	1,125	1,063	1,125	1,375
	0,500	1,500	1,219	1,125	1,219	1,500

Розв’язана гранична задача описує розподіл температури в однорідному стержні довжиною 2, а отримані результати - характер охолодження стержня з бігом часу.

Дата добавления: 2015-05-10