Определения. Геометрический и физический смысл

Лекция 7. Производная и дифференциал функции

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Элементы высшей математики»

Вопросы для изучения:

1. Определения. Геометрический и физический смысл.

2. Табличные производные.

3. Производная сложной функции.

4. Логарифмическое дифференцирование.

Приращением функции у=f(x) в интервале Dх называется разность D у=f(х+Dх)-f(x). Если D у >0, то функция на интервале возрастает; при D у <0 - убывает; при D у =0 – не изменяется.

Предел отношения приращения функции D у к приращению аргумента D х при стремлении D х к нулю называется производной функции:

Другие, эквивалентные, обозначения:

Геометрический смысл производной тесно связан с понятием касательной.

Проведем через точку М секущую ММ₁. Если точку М₁ устремить к М, т.е. уменьшать х до нуля, то в момент слияния точек М и М₁ угол перейдет в угол

Следовательно, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

С физической точки зрения производная - скорость изменения функции в данной точке.

Если функция имеет единственную производную в точке, она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала a , называется дифференцируемой в данном интервале.

Дата добавления: 2015-05-10