Производная сложной функции. Табличные производные

Табличные производные

С помощью определения можно вычислять производные функций. Пример:

y= f(x)=x² f(x+ x)=(x+ x)²=x²+2x x+( x)² y=
f(x+ x) - f(x)=2x x+( x)².

Отсюда и

Совершенно аналогично можно получить и производные любых других функций. На этой основе разработана и постоянно используется стандартная таблица производных:

	у=С	С – постоянное (число)
	у=x^a	a R
	у=sin x
	у=cos x
	у=tg x
	у=ctg x
	у=a^x
	у=e^x
	у=logax
	у=ln x
	у=arcsin x
	у= arccos x
	у=arctg x
	у=arcctg x

Теоремы дифференцирования

Так же, как и при вычислении пределов, математика разработала ряд теорем, ускоряющих вычислительную работу. Приведем их без доказательств:

· Сумма: у=u(x) v(x) .

· Произведение: y=u v .

· Частное: y=

· Постоянный множитель: y=Cu

Как было показано в лекции 2 Функция, сложную функцию следует заменить эквивалентной системой. После этого полученную систему дифференцируем по каждому уравнению системы. Окончательный результат получается как произведение промежуточных:

Совершенно аналогично представляются и рассчитываются и более громоздкие функции.

Производная неявной функции

Неявная функция включает в себя составляющие, которые содержат операции над у=f(x). Например, у² или и т.п. Рассмотрим выражение F= , где у=f(x). Подходя к нему как к сложной функции, запишем систему:

Это и есть правило дифференцирования неявной функции.

Пример: х²+у²= 100

Следовательно, производная от данной неявной функции имеет вид:

Производные высших порядков

Производная определяет, очевидно, некоторую новую функцию, которую, конечно, можно продифференцировать еще раз. По отношению к исходной функции у=f(x) это будет уже вторая производная или . Ясно, что этот процесс можно продолжать и получать все более высокие производные По-другому:

Пример: для у=sin x и т.д.

Только вторая производная имеет общефизический смысл - она характеризует «скорость изменения скорости» функции в точке, т.е. - ускорение.

Дата добавления: 2015-05-10